9 Центр линии второго порядка.

Определение 9.1. Центром линии второго порядка называется центр симметрии этой линии. ТЕОРЕМА 9.1. Пусть относительно аффинной системы координат задана линия второго порядка общим уравнением Для того чтобы начало координат являлось ее центром, необходимо и достаточно, чтобы в уравнении   отсутствовали члены с   и   в первой степени, т.е. чтобы  , иначе, чтобы уравнение линии имело вид Доказательство достаточности. Если  , то уравнение линии имеет вид   , и если ему удовлетворяют координаты   и   точки  , то ему удовлетворяют и координаты   и  точки  , симметричной точке   относительно начала координат. Доказательство необходимости. Пусть начало координат является центром линии  . Возьмем на линии произвольную точку  . Ее координаты удовлетворяют уравнению  , а так как начало координат является центром симметрии линии, то этому уравнению удовлетворят и координаты точки  , симметричной точке   относительно начала координат, т.е. . Вычитая из   соотношение  , находим, что координаты всех точек линии удовлетворяют уравнению  . Следовательно, уравнение линии приводится к виду  , то есть не содержит членов с   и   в первой степени. ТЕОРЕМА 9.2. Если относительно аффинной системы координат задана линия второго порядка общим уравнением то координаты   ее центра определяются из системы уравнений причем в случае несовместности этой системы линия не имеет центра (т.е. является параболой). Доказательство. Произведем перенос данной системы координат так, чтобы новым началом стала точка  . В новой системе координат уравнение линии   будет иметь вид (согласно формулам  ). По предыдущей теореме точка   является центром данной линии тогда и только тогда, когда или подробнее Определение 9.2. Любая кривая второго порядка, имеющая единственный центр называется центральной. Следовательно, кривая является центральной, если Замечание 9.1. При приведении центральных кривых к каноническому виду целесообразно пользоваться следующим планом: 1. Найти центр кривой. 2. Выполнить параллельный перенос в центр и записать уравнение кривой в перенесенной системе координат 3. Повернуть перенесенную систему координат на угол   и получить каноническую систему координат.