14 Главные направления. Главные диаметры.

Определение 14.1. Направление ненулевого вектора   называется сопряженным с направлением ненулевого вектора   относительно кривой второго порядка, заданной уравнением  , если выполняется равенство

или в эквивалентной форме

Так как  , то понятие сопряженности направлений является взаимным (т.е. если направление вектора  сопряжено с направлением вектора  , то направление вектора   сопряжено с направлением вектора   ).

Отметим далее, что сопряженные диаметры центральной кривой второго порядка имеют сопряженные направления.

Заметим также, что асимптотическое направление является самосопряженным направлением. Определение 14.2. Направление ненулевого вектора   называется особым относительно кривой второго порядка, заданной уравнением  , если оно сопряжено с направлением любого вектора  .

Ясно, что для того чтобы направление вектора   было особым, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись равенства

Поскольку система двух однородных уравнений с двумя неизвестными имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель  , то особые направления могут быть только у кривых параболического типа (нецентральные кривые). Далее при   уравнения системы пропорциональны, и поэтому определяют единственное (с точностью до пропорциональности) нетривиальное решение  . Поскольку отношение   характеризует (см. главу 10) асимптотическое направление параболической кривой, то тем самым доказано, что любая кривая параболического типа имеет единственное особое направление, совпадающее с ее асимптотическим направлением.

Определение 14.3. Направление называется главным относительно данной кривой второго порядка, если оно сопряжено с перпендикулярным направлением.

Так как понятие сопряженности является взаимным, то если данное направление является главным, то и перпендикулярное к нему --- главное. Отметим также, что для любой нецентральной линии особое направление является главным, а значит и перпендикулярное к нему --- главное.

По определению ненулевой вектор   является вектором главного направления относительно кривой второго порядка, заданной относительно ПДСК, тогда и только тогда, когда векторы   и   сопряжены. Используя  , получаем равенство, позволяющее найти главные направления:

Выясним, сколько главных направлений имеется относительно той или иной кривой второго порядка. Рассмотрим следующие случаи.

1.  . В этом случае  . Поэтому если положить  , то уравнение   запишется так:

Это квадратное уравнение имеет два различных действительных корня:

причем  . Отсюда следует, что в этом случае относительно данной кривой имеется два и только два главных направления.

Замечание 14.1. Используя равенство  , можно находить угловые коэффициенты главных направлений относительно кривой второго порядка, в случае если в уравнении   коэффициент  .

2.  . Уравнение   принимает вид

 или  .

И в этом случае имеется два главных направления, совпадающих с направлением координатных осей.

3.  . Ясно, что координаты любого вектора   удовлетворяют равенству  , поэтому любое направление является главным (в этом случае данная кривая является окружностью). Итак доказана

ТЕОРЕМА 14.1. Относительно любой линии второго порядка, отличной от окружности, существует два и только два главных направления. Относительно окружности любое направление является главным.

Определение 14.4. Диаметр называется главным, если он сопряженным с перпендикулярным ему направлением, т. е. если он перпендикулярен некоторому главному направлению.

Так как любой диаметр проходит через середины хорд сопряженного направления, то любой главный диаметр кривой второго порядка является ее осью симметрии.

Обратное вообще говоря неверно (например, две взаимно перпендикулярные прямые).

Далее, ясно, что направление любого главного диаметра является главным.

Обратное также, вообще говоря, неверно. Действительно для параболических линий все диаметры имеют особое (асимптотическое) направление, но существует главное направление, которое неасимптотично, а потому не может быть направлением никакого диаметра.

Для вырожденных параболических линий (пара параллельных прямых) существует только один диаметр (прямая центров) и поскольку перпендикулярное к нему направление является главным, он является главным диаметром. Для парабол также существует только один главный диаметр, а именно, диаметр сопряженный с главным неасимптотическим направлением.

Для центральных кривых, отличных от окружности, существует два главных диаметра, каждый из которых сопряжен с направлением другого (и потому ему перпендикулярен). Таким образом, справедлива

ТЕОРЕМА 14.2. Центральная кривая второго порядка, отличная от окружности, имеет два и только два главных диаметра. Нецентральная кривая второго порядка имеет только один главный диаметр.

Мы знаем, что для нецентральных кривых второго порядка главный диаметр сопряжен с направлением, перпендикулярным единственному асимптотическому направлению (см. выше), т.е. характеризующимся отношением

Следовательно, чтобы получить уравнение главного диаметра, следует в уравнении   положить либо  , либо   . Получим либо

либо

Таким образом, уравнение главного диаметра параболической линии может быть записано либо в виде  , либо в виде  .

Замечание 14.2. Уравнением   пользуемся если  , а уравнением  , если  . Когда оба уравнения имеют смысл, они равносильны. В случае, когда рассматриваемая линия является параболой, ее главный диаметр является ее осью. Следовательно, для параболы уравнения   и   являются уравнениями ее оси. В случае вырожденной параболической линии из условий   легко вытекает, что уравнения   и   приобретают вид

соответственно. Каждое из этих уравнений является прямой центров.

Теперь можно без труда охарактеризовать прямоугольную систему координат, в которой уравнение данной линии имеет канонический вид:

Осью абсцисс этой системы является главный диаметр (единственный главный диаметр для нецентральных кривых и любой из двух главных диаметров для центральных кривых). Осью ординат этой системы является для центральных кривых другой главный диаметр, а для нецентральных кривых -- прямая, перпендикулярная главному диаметру и проходящая (в случае параболы) через точку пересечения кривой с главным диаметром, а в случае вырожденной кривой произвольная.