7.1.8. Ряды Тейлора и Лорана

Теорема 5. В окрестности каждой точки , где существует производная , функция может быть представлена сходящимся рядом

(7.1.11)

Ряд (7.1.11) называется рядом Тейлора функции в точке . Ряд Тейлора дифференцируемой в точке функции существует и сходится к самой функции. Заметим, что ряд Тейлора для действительной функции может сходиться к другой функции или быть расходящимся.

Как и в действительном анализе, для комплексной переменной вводятся понятия числового и степенного рядов, частичной суммы ряда, остатка ряда, радиуса и области сходимости, а также теорема Абеля, признаки Коши и Даламбера, необходимый признак сходимости ряда.

Пример 7. Найти область сходимости ряда .

Решение. . Отсюда .

Теорема 6. Всякая функция , аналитическая в круге , может быть единственным образом разложена в этом круге в степенной ряд

, (7.1.12)

коэффициенты которого вычисляются по формулам:

(7.1.13)

где L – произвольная окружность с центром в точке , лежащая внутри круга.

Определение 18. Степенной ряд (7.1.12) с коэффициентами вида (7.1.13) называется рядом Тейлора.

Определение 19. Точка называется нулем функции если .

Теорема 7. Всякая аналитическая в кольце функция может быть разложена в этом кольце в ряд

, (7.1.14)

коэффициенты которого определяются формулой

где L – произвольная окружность с центром в точке , лежащая внутри кольца.

Ряд такого вида называется рядом Лорана.

Можно доказать, что функция , аналитическая в данном кольце, разлагается в ряд Лорана единственным образом. При этом функция может быть представлена в виде суммы:

Ряд, определяющий функцию , называется правильной частью ряда Лорана, этот ряд сходится к аналитической функции внутри круга . Ряд, определяющий функцию , называется главной частью ряда Лорана и сходится к аналитической функции вне круга .

Если функция не имеет особых точек внутри круга , то ее разложение в ряд Лорана обращается в ряд Тейлора.