7.1.3.4. Тригонометрические функции

Определение 9. Тригонометрические функции комплексного аргумента определяются равенствами

(7.1.4)

tg

ctg

При действительных z эти определения приводят к тригонометрическим функциям действительного переменного. Так, при z=x (y=0)

Вообще всякое новое определение не должно противоречить уже установленным фактам.

При этом, все основные формулы, имеющие характер тождественных равенств и справедливые для вещественных значений аргумента (такие, например, как , и т. п.), остаются в силе и для комплексных его значений.

На основе приведенных формул (7.1.4) вскрывается глубокая связь показательной функции с тригонометрическими: функции e^z, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера (1743 г.):

.

С помощью формул (7.1.4) легко получить выражения степеней синуса и косинуса через тригонометрические функции кратных аргументов, например,

и т.п. Такое преобразование применяется при интегрировании.

Отметим, что тригонометрические функции sinz и cosz в комплексной плоскости z не ограничены: Так, например,