7.2.7 Линейные пространства

При построении метрических пространств мы сосредоточили внимание только на одном важном свойстве множества вещественных чисел – на наличии расстояния в нем. Если рассматривать алгебраические операции, определенные в множестве вещественных чисел, то можно прийти к понятию линейного пространства.

Пусть X - множество элементов некоторой природы, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. X – абелева группа относительно групповой операции сложения.

Это значит, что определена сумма x+y двух любых элементов , являющаяся элементом того же множества, причем операция сложения обладает следующими свойствами:

x+y=y+x – закон коммутативности;

x+(y+z)=(x+y)+z – закон ассоциативности;

Существует нулевой элемент такой, что для любого x из X.

Для каждого элемента существует обратный элемент (-x) того же пространства такой, что x+(-x)=0.

2. Определено умножение элементов x, y, z,... множества X на вещественные (комплексные) числа , причем является снова элементом множества X и выполнены условия:

– закон ассоциативности;

- закон дистрибутивности;

.

Множество X, удовлетворяющее аксиомам 1 и 2, называется линейным (или векторным) пространством. В зависимости от того, на какие числа, вещественные или комплексные, допускается умножение элементов множества X, мы получаем вещественное или комплексное линейное пространство.

Приведем примеры линейных пространств.

1. Совокупность вещественных n-мерных векторов образует вещественное линейное пространство.

2. Совокупность комплекснозначных решений обыкновенного однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка образует комплексное линейное пространство.

3. Совокупность элементов вещественного (комплексного) класса образует вещественное (комплексное) линейное пространство.

4. В арифметическом пространстве элементы (действительные числа) можно складывать и умножать на действительные числа, не выходя за пределы пространства : если , то , где a - действительное число.

5. В пространстве непрерывных на отрезке функций в результате операций вновь получаем непрерывные функции.