7.1.6. Интегрирование функции комплексного переменного

Пусть – функция комплексного переменного z, определенная в некоторой области и L – кусочно-гладкая кривая, лежащая в этой области. Разобьем эту кривую на n частей точками , пронумерованными в направлении от - начальной точки кривой L, до - конечной точки L (рис. 7.1.3), и на каждой части выберем какую-нибудь точку (k=1,2,…,n).

Рис. 7.1.3

Предел такой интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшей из элементарных дуг, называется интегралом от функции по контуру L.

Определение 15. Интегралом от функции по кривой L называется предел

, (7.1.7)

если этот предел существует и не зависит от выбора промежуточных точек и .

Покажем, что если L –гладкая кривая, а функция непрерывная и однозначная, то интеграл (7.1.7) существует.

Действительно, пусть =u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy, . Тогда

,

.

Поэтому

Обе суммы, находящиеся в правой части последнего равенства, являются интегральными суммами для соответствующих криволинейных интегралов.

При сделанных предположениях о кривой L и функции пределы этих сумм существуют. Поэтому после перехода к пределу в последнем равенстве при получим:

(7.1.8)

Формула (7.1.8) показывает, что вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению криволинейных интегралов от действительных функций действительных переменных.

Если кривая L задана комплексным параметрическим уравнением

и учитывая, что

,

то формула (7.1.8) преобразуется в формулу

.

Приведем основные свойства интеграла от функции комплексного переменного.

1. .

Доказательство:

.

2. .

3. , где а – комплексное число.

4. , т.е. при перемене направления пути интегрирования интеграл изменяет свой знак на противоположный.

5. , где , т.е. интеграл по всему пути L равен сумме интегралов по его частям и .

6. Оценка модуля интеграла. Если во всех точках кривой L, то

,

где l – длина кривой L.

Действительно, ,

где - длина ломаной , вписанной в кривую L.

Теорема 3 (Теорема Коши). Если функция аналитична в некоторой односвязной области D, то интеграл от по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D, равен нулю, т.е.

Доказательство. Докажем теорему, предполагая непрерывность производной . По формуле (7.2.3) имеем:

В силу аналитичности =u+iv и непрерывности в односвязной области D, функции u=u(x,y) и v=v(x,y) непрерывны и дифференцируемы в этой области и удовлетворяют условиям Коши-Римана:

и .

Эти условия означают равенство нулю интегралов и . Следовательно,

Теорема Коши допускает распространение на случай многосвязной области.

Следствие. Если функция аналитична в односвязной области D, то интеграл от нее не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от начальной точки и конечной точки z пути интегрирования.

Доказательство. Действительно, пусть и - две кривые в области D, соединяющие точки и z.

По теореме Коши

, т.е. или , откуда .

В таких случаях, когда интеграл зависит только от начальной точки и конечной точки пути интегрирования, будем пользоваться обозначением

.

Если здесь зафиксировать точку , а точку z изменять, то будет функцией от z. Обозначим эту функцию через F(z): . Можно доказать, что если функция аналитична в односвязной области D, то функция F(z) также аналитична в D, причем

Определение 16. Функция F(z) называется первообразной для функции в области D, если .

Можно показать, что если F(z) есть некоторая первообразная для , то совокупность всех первообразных определяется формулой F(z)+C, где С =const.

Определение 17. Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом , т.е.

где

Как и в вещественном анализе, для функции комплексного переменного справедлива формула Ньютона-Лейбница:

.

Пример 6. Вычислить интеграл , где L:

1) отрезок прямой от точки 0 до точки 1+2i;

2) дуга параболы от точки 0 до точки 1+2i.

Решение. 1) так как L – отрезок прямой и , то

так как для всех точек L имеем , то

Этот пример показывает, что если L – кривая в области D с начальной точкой и конечной точкой , а не аналитическая функция в D, то интеграл , вообще говоря, зависит не только от точек и , а также и от вида кривой L.