Задачи для самостоятельного решения

Найти общие решения линейных дифференциальных уравнений с использованием метода вариации произвольной постоянной.

1) ,2) ,

3) ,4) ,

5) ,6) ,

7) ,8) ,

5.5 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

, (5.5.1)

где - действительные числа. Соответствующее ему ЛОДУ:

.

Известно, что общее решение ЛОДУ имеет вид:

,

где - произвольные постоянные, а- фундаментальная система решений этого дифференциального уравнения.

Общее решение ЛНДУ (5.5.1) определяется формулой:

,

где - какое-нибудь частное решение (5.5.1).

Если имеетспециальный вид, то частное решение может быть найденометодом неопределенных коэффициентов.

1. Пусть правая часть дифференциального уравнения имеет вид: , где - многочлен степениn, - какое-нибудь действительное число.

1.1. Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:, где- многочлен степениn с неопределенными коэффициентами.

Чтобы найти эти коэффициенты, подставим функцию в дифференциальное уравнение и в полученном тождестве приравняем коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях . Получим систему n+1 уравнения для определения коэффициентов .

Пример 1. Найти общее решение ЛНДУ: ,.

Рассмотрим соответствующее ЛОДУ: .

Характеристическое уравнение , корни этого уравнения. Таким образом, числоне является корнем характеристического уравнения.

Частное решение ЛНДУ ищем в виде: .

Подставим функцию и ее производнуюв данное дифференциальное уравнение и получим тождество:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему :

. Отсюда, , тогда

.

Общее решение дифференциального уравнения:

.

1.2. Если является действительным корнем характеристического уравнения кратностиk, то частное решение ищем в виде: .

Пример 2. Найти общее решение ЛНДУ:

, .

Рассмотрим соответствующее ЛОДУ:

Характеристическое уравнение ,, корни уравнения. Таким образом, числоявляется действительным корнем 2-й кратности характеристического уравнения.

Частное решение ищем в виде: .

Подставим функцию и ее производныеив данное дифференциальное уравнение и получим тождество:.

.

Тогда . Общее решение дифференциального уравнения:

2. Пусть правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

,

где -многочлены, и- какие-нибудь действительные числа.Заметим, что многочлены имогут иметь нулевую степень.

2.1. Число не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение ищем в виде:,

где и- многочлены с неопределенными коэффициентами, степень которых равна наивысшей из степеней многочленови.

Пример 3. Найти общее решение ЛНДУ

.

Рассмотрим соответствующее ЛОДУ:

, .

Число не является корнем характеристического уравнения.

Частное решение ищем в виде: .

Подставим функцию и ее производныеив данное дифференциальное уравнение и получим тождество:

приравнивая коэффициенты при и, получим систему :

или .

Отсюда . Тогда. Общее решение дифференциального уравнения:.

2.2. Число является корнем характеристического уравнения кратностиk, то частное решение ищем в виде: .

Пример 4. Найти общее решение ЛНДУ:

, .

Рассмотрим соответствующее ЛОДУ:

.

Число является корнем характеристического уравнения. Частное решение ищется в виде.

Подставим функцию и ее производныеив данное дифференциальное уравнение и получим тождество

.



Тогда .Общее решение дифференциального уравнения: .

Примечание. Если ЛНДУ имеет вид: , точастное решение этого уравнения можно представить в виде суммы, гдеисоответствующие частные решения уравнений:;

Пример 5. Найти общее решение ЛНДУ: ,

.

Рассмотрим соответствующее ЛОДУ: .

Характеристическое уравнение корни

Частное решение ЛНДУ ищем в виде , гдеисоответственно частные решения дифференциальных уравнений

, .

Частные решения этих дифференциальных уравнений соответственно равны

Частное решение ЛНДУ:

Общее решение ЛНДУ :