Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка:

(ЛНДУ). (5.4.1)

Соответствующее ему линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка:

(ЛОДУ). (5.4.2)

По теореме о структуре общего решения ЛНДУ общее решение дифференциального уравнения (10.4.1) имеет вид:

,

где и-линейно независимые частные решения дифференциального уравнения (5.4.2), а- какое-нибудь частное решение дифференциального уравнения (5.4.1);- произвольные постоянные.

Для отыскания общего решения ЛНДУ (5.4.1) рассмотрим метод вариации произвольных постоянных (в форме Лагранжа).

1. Находим общее решение ЛОДУ (5.4.2)

, (10.4.3)

где и-линейно независимые частные решения дифференциального уравнения (5.4.2),- произвольные постоянные.

2. Запишем общее решение ЛНДУ (5.4.1) в форме (5.4.3)

, (5.4.4)

где и-неизвестные функции. Функциииподберем так, чтобы функция, определяемая соотношением (5.4.4) была решением дифференциального уравнения (5.4.1).

3. Для определения инеобходимо решить систему линейных неоднородных алгебраических уравнений:

. (5.4.5)

Из системы уравнений (5.4.5) иопределяются единственным образом, так как определитель системы

,

функции илинейно независимы.

Пусть и. Тогдаи, гдеипостоянные интегрирования.

4. Найденные иподставим в соотношение (5.4.4) и получим общее решение ЛНДУ(15.4.1).

или

. (5.4.6)

В соотношении (5.4.6) - общее решение ЛОДУ (5.4.2), а функция-частное решение ЛНДУ(5.4.1).

Пример. Найти общее решение ЛНДУ: (5.4.7)

1. Найдем общее решение ЛОДУ: ;

, отсюда и- общее решение однородного дифференциального уравнения.

2. Общее решение ЛНДУ ищем в виде , (5.4.8)

где и- неизвестные функции, подлежащие определению.

3. Для определения этих функций составим систему уравнений:

,

отсюда находим ,. Интегрируя, получим:

4. Подставив ив соотношение (5.4.8), получим общее решение ЛНДУ (5.4.7):или

,

где - общее решение ЛОДУ,- частное решение ЛНДУ.

Примечание. Метод вариации произвольных постоянных применим к ЛНДУ более высоких порядков (n>2).