Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение называется линейным, если ивходят в него линейно, т.е. впервой степени: . Т.к., то уравнение приводится к виду:

(2.1.4)

где - правая часть линейного дифференциального уравнения.

Если , то уравнение называетсяоднородным линейным уравнением. Если , то имеемнеоднородное линейное уравнение.

Рассмотрим один из возможных способов решения уравнения (5.1.4), способ Бернулли-Фурье. Будем искать решение в виде y=U(x)V(x). Таким образом, искомыми становятся функции U(x) и V(x).

Подставим y=UV и в (5.1.4), тогда

Найдем функцию V(x) как частное решение уравнения с разделяющимися переменными: . После интегрирования получим:, где постояннуюС можно задать произвольно.

Тогда функция U(x) также может быть найдена как решение уравнения с разделяющимися переменными .

Можно получить и общую формулу для решения линейного дифференциального уравнения 1-го порядка :

.

Пример. или.

Здесь .

Найдем;;

. Пусть С=1, тогда частное решение .

Теперь найдем U(x):;;.

Решение исходного уравнения : или