5.3.1 Решение лоду с постоянными коэффициентами

Так как ивходят в уравнение линейно, будем искать решение в виде, где- действительное или комплексное число (все производные этой функции отличаются от нее только постоянным множителем:).

Подставив в уравнение, получим:.

Так как , а коэффициенты, то нахождение фундаментальной системы решений уравнения (10.3.1) сводится к алгебраическим операциям, а именно к решению алгебраического уравненияn-ой степени:

.

Это уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.

Характеристическое уравнение, как алгебраическое уравнение n-ой степени имеет n корней (вещественных или комплексных) .

При решении характеристического уравнения возможны случаи:

• 1.Корни характеристического уравнения - действительные и различные, тогда дифференциальное уравнение (5.3.1) имеет n линейно независимых частных решений

.

Общее решение дифференциального уравнения (5.3.1) имеет вид

Пример 1. Найти общее решение ЛОДУ

,

-характеристическое уравнение.

Корни характеристического уравнения -действительные и разные. Тогда линейно независимые частные решения дифференциального уравнения имеют вид:

общее решение дифференциального уравнения есть

• 2.Корни характеристического уравнения действительные, но среди них есть кратные. Пусть , то есть-действительный корень кратностиk, остальные корни характеристического уравнения - действительные и различные. Тогда действительному корнюкратностиk отвечает k частных линейно независимых решений дифференциального уравнения (5.3.1):

.

Общее решение дифференциального уравнения (5.3.1) имеет вид:

.

Пример 2. Найти общее решение ЛОДУ:

или -характеристическое уравнение

Корни характеристического уравнения - действительные числа. Действительный кореньявляется корнем 3-й кратности. Этому корню отвечают 3 линейно независимых частных решения дифференциального уравнения вида:.

Остальным корням характеристического уравнения отвечают линейно независимые частные решения вида:.

Общее решение дифференциального уравнения :

.

• 3.Среди корней характеристического уравнения кроме действительных, есть и комплексно-сопряженные, но нет кратных. Пусть .

Этим комплексно-сопряженным корням отвечают два частных линейно независимых решения дифференциального уравнения:

Общее решение дифференциального уравнения (5.3.1) имеет вид:

.

Пример 3. Найти общее решение ЛОДУ:

- характеристическое уравнение.

; ;

Корни характеристического уравнения:

Паре комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения соответствуют два частных линейно независимых решения:

.

Действительным корням характеристического уравнения соответствуют два частных линейно независимых решения: .

Общее решение дифференциального уравнения:

.

• 4.Среди корней характеристического уравнения есть кратные комплексно-сопряженные корни. Пусть и- пара комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения кратностиk. Тогда паре комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения кратности k отвечает 2k линейно независимых частных решений дифференциального уравнения: , остальным корням характеристического уравнения отвечаютn-2k частных линейно независимых решений вида : .

Общее решение дифференциального уравнения (10.3.1) имеет вид:

.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения:

характеристическое уравнение, .

Корни характеристического уравнения икомплексно-сопряженные 2-й кратности. Частные линейно независимые решения дифференциального уравнения:

.

Общее решение дифференциального уравнения:

.