Простейшие свойства групп, колец, полей

1⁰. Единичный элемент в группе единственен.

2⁰. Обратный элемент к любому элементу группы определён однозначно.

3⁰. В любой группе выполняется следующий обобщённый закон ассоциатив­­ности:  k  N  a₁ , … , a_k  G произведение a₁ … a_k не зависит от расстановки скобок.

4⁰. В любой группе (G, ) выполняются законы сокращения слева и справа:

 f, g, h  G f  g = f  h g = h,  f, g, h  G f  h = g  h f = g .

5⁰. В любой группе однозначно разрешимы уравнения a  x = b и y  a = b, где а, b – произвольные элементы.

6⁰.  k N  g₁ , … , g_k  G (g₁ … g_k)^–1 = g_k^–1 … g₁^–1.

7⁰. Аддитивная группа (K, +) любого кольца удовлетворяет 1⁰–6⁰.

8⁰. В любом кольце выполняется обобщённый закон ассоциатив­­ности умножения.

9⁰.  a, b  K (– a) b = a ( – b)

10⁰. Для кольца с единицей:  a  K – a = (–1) a

В любом кольце определяется операция вычитания: a – b = a + (– b)

11⁰.  a, b, c  K a  (b – c) = a b – a  c,  a, b, c  K (a – b) c = a c – b c

12⁰.  a₁ , … , a_n , b  K (a₁ ± a₂ ± …± a_n ) b = a₁ b ± a₂  b ± …± a_n b, b (a₁ ± a₂ ± … ± a_n ) = b a₁ ± b a₂ ± … ± b  a_n

13⁰. Любое поле удовлетворяет всем свойствам колец.

14⁰. Если (F, +, ) – поле и F^ = F \ {0} то (F^ , ) – группа, называемая мультипликативной группой поля.

В любом поле определяется операция деления на ненулевые элементы:

= a b^–1.

15⁰. Свойства дробей в поле: = a d = b c, = 1,=a, =,±=,=,=.