Матрицы и операции над ними.

Определение.Матрицей называется множество чисел, которое составляет прямоугольную таблицу, состоящее изmстрок иnстолбцов

коротко матрицу обозначают так:

где элементы данной матрицы,i– номер строки,j– номер столбца.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называетсяквадратнойn-го порядка, а в противном случае –прямоугольной.

Если m=1 и n >1, то получаем однострочную матрицу

которая называется вектор-строкой, если, жеm>1 иn=1, то получаем одностолбцовую матрицу

,

которая называется вектор-столбцом.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, называется единично, обозначаетсяE.

Матрица, полученная из данной заменой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированнойк данной. Обозначается.

Две матрицы иравны, если равны между собой элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть если

при всех i иj(при этом число строк (столбцов) матрицAиBдолжно быть одинаковым).

1°. Суммой двух матрицA=(a_ij) иB=(b_ij) с одинаковым количествомm строк иnстолбцов называется матрицаC=(c_ij), элементы которой определяются равенством

Сумму матриц обозначают C=A+B.

Пример.

.

2⁰. Произведением матрицыA=(a_ij) на числоλназывается матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицыAна числоλ:

λA=λ(a_ij)=(λa_ij), (i =1,2…,m ; j=1,2…,n ).

Пример.

3⁰. Произведением матрицыA=(a_ij), имеющейmстрок иkстолбцов, на матрицуB=(b_ij), имеющейk строк иnстолбцов, называется матрицаC=(c_ij), имеющаяmстрок иnстолбцов, у которой элементc_ijравен сумме произведений элементовi-ой строки матрицыA иj-го столбца матрицыB, то есть

При этом число столбцов матрицы Aдолжно быть равно числу строк матрицыB. В противном случае произведение не определено. Произведение матриц обозначается A*B=C.

Пример.

Для произведения матриц не выполняется равенство между матрицами A*B иB* A, в общем случае одна из них может быть не определена.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.

Пример.Пусть,, тогда согласно правилу умножения матриц имеем

=

и

,

откуда заключаем, что

и