logo
Л

Прямая на плоскости

Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии.

Определение.Уравнение F(x, y)=0 называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Любая прямая на плоскости задается уравнением первой степени относительно переменных х и у.

Прямую можно задать одним из следующих уравнений:

  1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k (k – тангенс угла наклона прямой к положительному направлению осиOx)

у=kх+b (1)

  1. Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку

)

  1. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

  1. Уравнение прямой в "отрезках"

здесь a и b-отрезки, которые отсекает прямая на осяхОх и Оусоответственно.

  1. Нормальное уравнение прямой

здесь р - длина перпендикулярна, опущенного из начала координат на прямую,a -угол образованный этим перпендикуляром с положительным направлением осиОх.

  1. Уравнение прямой проходящей через точку , в данном направлении

  1. Общее уравнение прямой

Ax=By+С=0.(7)

Здесь A, B и Cпостоянные коэффициенты, причемЕсли какой-то коэффициент равен 0, то получаем неполные уравнения прямой.

а) Если А=0, тогдаBy+C=0 это уравнение определяет прямую, параллельную осиОх.

б) Если В=0, то уравнениеAx+C=0 определяет прямую, параллельную осиОу.

в) Если С=0, то уравнениеAx+By=0 задает прямую, проходящую через начало координат.

г) Если А=С=0, то уравнение By=0определяет прямую совпадающую с осьюОх.

д) При В=С=0прямаяАх=0совпадает с осьюОу.

Прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельными или перпендикулярными.

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y=k1x+b1 и y=k2x+b2 , (8)

то острый угол между прямыми определяется по формуле

. (9)

Если же прямые заданы общими уравнениями

А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0, (10)

то угол между ними можно найти по формуле

(11)

Пусть прямые заданы уравнениями (8). Прямые параллельны, еслиtg a=0,тогда

k2=k1 (12)

условие параллельности двух прямых. Условие перпендикулярности определяет равенство

(13)

Если прямые заданы уравнениями (10), то условия параллельности и перпендикулярности примут вид:

, (14)

А1А2+В1В2=0. (15)