Формулы Крамера

Дана система трех уравнений с тремя неизвестными

(1)

Основную роль играют следующие четыре определителя:

, ,,.

Определитель Dназывается определителем системы (1). ОпределителиD_x,D_y,D_zполучаются из определителяDзаменой свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.

Возможны следующие случаи.

Случай 1 (D¹0). В этом случае существует единственное решение системы, и оно может быть найдено по следующим формулам, которые называются формулами Крамера.

Случай 2 (D=0). В этом случае решение системы может не существовать или система может иметь бесконечное число решений. Например, система

не имеет решения, а система

имеет бесконечное число решений.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и метод Гаусса рассмотреть самостоятельно.

Системы линейных однородных уравнений

Пусть дана система линейных однородных уравнений

.

Однородная система всегда совместна (), она имеетнулевое (тривиальное) решение .

Теорема 1. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных, т.е. .

Теорема 2. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.

Координаты точки на прямой и плоскости. Деление отрезка в данном отношении.

Аналитическая геометрия изучает геометрические образы алгебраическими методами. Аппаратом аналитической геометрии является метод координат, разработанный Декартом в XVII веке. В основе метода координат лежит понятие системы координат.

Две взаимно перпендикулярные оси О_хиО_у, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат. ОсьО_хназывается осью абсцисс, осьО_у– осью ординат.

В прямоугольной системе координат О_хуточку М, имеющую координатых и у, обозначаютМ(х; у), гдех– абсцисса точки, ау– её ордината.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы точки М₁(х_1, у₁)иМ₂(х₂;у₂). Расстояние между ними определяется по формуле:

(1)

Теорема. Для любых трех точек А(х₁;у₁),В(х₂;у₂) и С(х₃;у₃), не лежащих на одной прямой, площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле

(2)

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М₁М₂и пустьМ– любая точка этого отрезка, отличная от точкиМ₂(рис.1).

Координаты точки М(х;у)делящей отрезок между точкамиМ₁(х₁;у₁)иМ₂(х₂;у₂)в заданном отношенииλ, определяются по формулам:

(3)

При λ=1получаем формулы для координат середины отрезка:

(4)

у М₂(х₂;у₂)

М₁(х₁;у₁) М(х;у)

ρ М

О Р₁Р Р₂хOφ

рис.1 рис.2

В полярной системе координат положение точки М на плоскости определяется её расстоянием |ОМ|=ρот полюсаО(ρ–полярный радиус-вектор точки) и угломφ, образованным отрезкомОМс полярной осьюОЕ(рис.2). Уголφсчитается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки.

Прямоугольные координаты хиуточкиМи её полярные координатыρиφсвязаны следующими формулами