1 Формулы преобразования координат.

Задача преобразования координат состоит в следующем: Пусть на плоскости заданы две системы координат   — «старая» и   — «новая», а также произвольная точка плоскости   , имеющая координаты   и  соответственно. Требуется найти связь между старыми и новыми координатами точки  , зная координаты точки   и векторов   и   в старой системе координат. Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат   и  . Первую систему координат назовем старой, а вторую — новой. Пусть   — произвольная точка плоскости, которая в старой системе имеет координаты   , а в новой системе —  . Пусть  . По правилу треугольника  , поэтому имеем равенство  , или  . Учитывая, что векторы линейно независимы, приходим к формулам 

Это формулы преобразования аффинных координат. Заметим, что коэффициенты при переменных   составляют матрицу перехода от базиса   к базису   , поэтому   Следовательно, мы можем выразить координаты точки   в новой системе   через координаты той же точки в старой системе  . Не приводя эти формулы отметим только, что функции   и   линейные. Рассмотрим теперь преобразование прямоугольных систем координат. Возможны два случая. I. Обе системы   и   — ориентированы одинаково. Пусть  , а ориентированный угол между векторами   и   равен  . Найдем координаты векторов   в базисе  . Имеем   и  . Таким образом,  ;  . Поэтому, формулы   принимают вид:     —   -- это формулы преобразования декартовых систем координат, ориентированных одинаково. II. Системы   и   — ориентированы противоположно. Пусть  , а ориентированный угол между векторами   и   равен  . Найдем координаты векторов   в базисе  . Имеем   и  . Таким образом,  ;  . В этом случае, формулы   принимают вид:       -- это формулы преобразования декартовых систем координат, ориентированных противоположно. Замечание 1.1. Формулы   и   можно записать вместе   где  . Замечание 1.2. Если  , то формулы   принимают вид     Формулы   — это формулы параллельного переноса. Замечание 1.3. Если  , то формулы   преобразования примут вид     Формулы   — это поворот системы координат вокруг начала координат на ориентированный угол  .