Постановка задачи

1.) Предложите зависимости от времени коэффициентов alfa и betta в дифференциальном уравнении для численности популяции, реалистично описывающие ее динамику.

2.) Исследуйте модель, учитывающую равновесную численность популяции, используя как полученное на лекции аналитическое решение, так и численное решение задачи Коши (см. процедуры ode23 ode45)

2. Математическая модель

1.Модель гибели – размножения популяции (модель Мальтуса). (простая)

Первый этап (идеализация объекта)

Будем рассматривать только одну характеристику, количество популяции в момент времени t.

Введём обозначения:

α(t) – рождаемость;

β(t) – смертность.

Тогда получаем, что количество рождённых () и умерших () зависит от α(t) и β(t) соответственно как:

.

Второй этап (составление дифференциального уравнения)

Зависимость N(t) описывается дифференциальным уравнением:

При устремлении , получаем дифференциальное уравнение:

Сформулируем задачу Коши, для данного дифференциального уравннеия:

Третий этап (решение задачи Коши)

Решим задачу Коши:

Возьмём иравными const.

Возможны три случая:

1. =, тогда уравнение принимает вид: N(t)=N(0)=;

2. <, тогда уравнение принимает вид: ;

3. >, тогда уравнение принимает вид: ;

Зависимости численности популяции от времени для каждого из рассмотренных случаев, изображённые на рисунке (Рис. 1):

Рис. 1

На данном рисунке:

1. Красный график - график описывающий ситуацию 1;

2. Зелёный график - график описывающий ситуацию 2;

3. Синий график - график описывающий ситуацию 3.

При =численность остаётся постоянной, т.е. в этом случае решением уравнения является равновесная величинаN(0). Равновесие между рождаемостью и смертностью неустойчиво в том смысле, что даже небольшое нарушение равенства=приводит с течением времени ко всё большему отклонению функцииN(t) от равновесного значенияN(0). При<численность населения убывает и стремится к нулю при, а при>растёт по некоторому экспоненциальному закону, обращаясь в бесконечность при. Последнее обстоятельство и послужило основанием для опасения Мальтуса о грядущем перенаселении Земли со всеми вытекающими отсюда последствиями.