Численное решение задачи Коши
Первое приближение – метод Эйлера и решение задачи Коши:
;
Появляется новая точка: и.
Отсюда находим следующую точку:
Запишем рекуррентную формулу, по которой решается задача Коши:
.
Отступление по поводу процедуры ode45
Этот подход в MatLabможет быть применён не только к скалярным величинам, но и к вектору.
Введём вектор-функцию:
;
Обозначим правую часть вектор-функцией:
Обозначим начальные условия вектор-столбцом:
В матричном виде постановка задачи Коши будет выглядеть как:
;
;
Или в виде системы уравнений:
;
Начальные условия:
;
Теперь мы можем записать задачу Коши с помощью вектор-функции:
Это идеальный объект для работы в MatLab. Мы можем это использовать в процедуреode45.
Реализация математической модели
Простая модель Мальтуса
Реализация аналитического метода решения
Для реализации математической модели используем программу MatLab.
Построим график численности популяции в зависимости от времени, используя уравнения полученные в результате аналитического решения (решение приводится в математической модели).
Создадим процедуру lab_08_1.m:
t=[0:0.1:10]; % создаём массив со значениями t
a=0.1; % задаём коэффициент рождаемости
b=0.2; % задаём коэффициент смертности
n0=10; % задаём начальное значение численности популяции
x=(t-t+1)*n0; % вычисляем численность популяции в зависимости отt, дляa=b
x1=exp(t*(a-b))*n0; % вычисляем численность популяции в зависимости отt, дляa>b
x2=exp(t*(b-a))*n0; % вычисляем численность популяции в зависимости отt, дляa<b
plot(t,x,'r-',t,x1,'g-',t,x2); % строим графики зависимости численности популяции от времени для всех трёх случаев
Получаем график изображённый на рисунке (Рис. 3):
Рис. 3
На данном рисунке:
Красный график - график описывающий ситуацию 1;
Зелёный график - график описывающий ситуацию 2;
Синий график - график описывающий ситуацию 3.
- Постановка задачи
- 2.Модель гибели – размножения популяции (модель Мальтуса). (усложнённая) Постановка задачи
- Аналитическое решение
- Численное решение задачи Коши
- Реализация численного метода решения
- Реализация усложненной модели Мальтуса Реализация аналитического метода решения
- Реализация численного метода решения