Численное решение задачи Коши

Первое приближение – метод Эйлера и решение задачи Коши:

;

Появляется новая точка: и.

Отсюда находим следующую точку:

Запишем рекуррентную формулу, по которой решается задача Коши:

.

Отступление по поводу процедуры ode45

Этот подход в MatLabможет быть применён не только к скалярным величинам, но и к вектору.

Введём вектор-функцию:

;

Обозначим правую часть вектор-функцией:

Обозначим начальные условия вектор-столбцом:

В матричном виде постановка задачи Коши будет выглядеть как:

;

;

Или в виде системы уравнений:

;

Начальные условия:

;

Теперь мы можем записать задачу Коши с помощью вектор-функции:

Это идеальный объект для работы в MatLab. Мы можем это использовать в процедуреode45.

3. Реализация математической модели

1. Простая модель Мальтуса

Реализация аналитического метода решения

Для реализации математической модели используем программу MatLab.

Построим график численности популяции в зависимости от времени, используя уравнения полученные в результате аналитического решения (решение приводится в математической модели).

Создадим процедуру lab_08_1.m:

t=[0:0.1:10]; % создаём массив со значениями t

a=0.1; % задаём коэффициент рождаемости

b=0.2; % задаём коэффициент смертности

n0=10; % задаём начальное значение численности популяции

x=(t-t+1)*n0; % вычисляем численность популяции в зависимости отt, дляa=b

x1=exp(t*(a-b))*n0; % вычисляем численность популяции в зависимости отt, дляa>b

x2=exp(t*(b-a))*n0; % вычисляем численность популяции в зависимости отt, дляa<b

plot(t,x,'r-',t,x1,'g-',t,x2); % строим графики зависимости численности популяции от времени для всех трёх случаев

Получаем график изображённый на рисунке (Рис. 3):

Рис. 3

На данном рисунке:

4. Красный график - график описывающий ситуацию 1;

5. Зелёный график - график описывающий ситуацию 2;

6. Синий график - график описывающий ситуацию 3.