Переход от дифференциального уравнения высокой степени к системе дифференциальных уравнений первой степени. Модель колебаний сердечной мышцы.

В случаях, когда модель изучаемого процесса описывается ДУ степенью большей 1, удобно трансформировать его в систему ДУ первой степени. Именно такой стандартизованной формы требуют, например, многие математические пакеты для проведения операции численного решения ДУ (см. далее).

Напомним, что системой ДУ первой степени называется система вида:

К ней легко приводится ДУ степени n:

Приведение осуществляется путем замены переменных:

,

которая дает каноническую систему ДУ первой степени:

Рассмотрим пример. Модель колебаний сердечной мышцы (изменение ее длины y в продольном направлении) можно упрощенно описать ДУ следующего вида:

,

где p, q – постоянные коэффициенты, определяющие параметры периодического изменения возмущающего воздействия (мышечного напряжения), - угловая собственная (резонансная) частота колебаний сердечной мышцы.

Произведем замену переменных: . Получим:

Общее аналитическое решение данной системы в графическом виде будет иметь вид (подробно ход получения решения не приводится):

,

где A и B – постоянные коэффициенты.

График решения системы при начальных условияхимеет вид: