Линейные комбинации векторов

Применяя линейные операции, можно составлять суммы векторов, умноженных на числа.

Вектор называется линейной комбинацией векторов , если он может быть представлен в виде

,

где — некоторые числа. В этом случае говорят, что вектор разложен по векторам , а числа называют коэффициентами разложения.

Линейная комбинация с нулевыми коэффициентами называется тривиальной.

Отметим следующие свойства линейных комбинаций векторов:

1. Если векторы — коллинеарны, то любая их линейная комбинация им коллинеарна.

2. Если векторы — компланарны, то любая их линейная комбинация им компланарна.

Докажем, например, первое свойство. При умножении вектора на число получаем (по определению) вектор, колпинеарный данному. При сложении двух векторов, параллельных некоторой прямой, получаем (по определению) вектор, параллельный той же самой прямой. Поэтому линейная комбинация двух коллинеарных векторов и коллинеарна им. По индукции свойство распространяется на любое конечное число коллинеарных векторов.

Аналогично доказывается второе свойство.