15. Векторное произведение векторов.

 Векторное проведение векторов.

Определение: Под векторным произведением двух векторов  и  понимается вектор,  для которого:

-модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. , где угол между векторами  и 

-этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е. 

-если векторы  неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.

 Свойства векторного произведения:

1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е. 

2.Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е. 

3.Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. 

4.Для любых трех векторов   справедливо равенство 

5.Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов  и : 

 Векторное произведение в координатной форме.

 Если известны координаты векторов  и , то их векторное произведение находится по формуле:

  .

 Тогда из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , вычисляется по формуле:

Пример: Вычислить площадь треугольника с вершинами (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).

Решение: .

, , тогда площадь треугольника АВС будет вычисляться следующим образом:

 ,