13 Касательная к линии второго порядка.

Пусть относительно аффинной системы координат линия второго порядка задана общим уравнением  .

Будем называть точку  , лежащую на этой линии, обыкновенной, если среди чисел

есть хотя бы одно, не равное нулю. В противном случае точка называется особой.

Ясно, что точка  , лежащая на линии  , является особой тогда и только тогда, когда она является центром линии. Таким образом, среди всех линий второго порядка имеют особые точки только: пара пересекающихся прямых (мнимых или действительных) и пара совпавших прямых.

Определение 13.1. Прямая, проходящая через обыкновенную точку линии второго порядка, называется касательной к этой линии в точке  , если она пересекает линию в двух совпавших точках или целиком содержится в этой линии.

ТЕОРЕМА 13.1. Пусть   -- обыкновенная точка линии второго порядка, заданной уравнением  . Тогда уравнение касательной к этой линии в точке   имеет вид

или, что то же самое

Доказательство. Запишем параметрические уравнения прямой  , проходящей через точку   и параллельной вектору :

Параметры точек пересечения этой прямой с данной линией определяются из уравнения  , которое в данном случае имеет вид  , так как   лежит на линии, и поэтому  . По определению, прямая   является касательной тогда и только тогда, когда  . Это означает, что

.

Поскольку точка   -- обыкновенная, то   и   одновременно не равны нулю, а значит равенство  определяет единственное направление вектора  . Следовательно уравнение прямой  (касательной) можно записать в виде

или

которое после очевидных преобразований приводится в виду

Так как точка лежит на кривой второго порядка, то

Следовательно, окончательно уравнение касательной имеет вид  . Теорема доказана.