Метод конечных элементов.
С появлением первых компьютеров возникла необходимость в разработке новых инженерных подходов к численному решению задач со сложной геометрией, в которых области интегрирования разбивались на подобласти. Такие подобласти и получили название конечных элементов.
Метод конечных элементов основан на идее аппроксимации непрерывной функции (в физической интерпретации - температуры, давления, перемещения и т.д.) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами. Исследуемая геометрическая область разбивается на элементы таким образом, чтобы на каждом из них неизвестная функция аппроксимировалась пробной функцией (как правило, полиномом). Причем эти пробные функции должны удовлетворять граничным условиям непрерывности, совпадающим с граничными условиями, налагаемыми самой задачей.
Рассмотренный метод дискретизации вследствие использования регулярных сеток имеет вид конечно-разностного метода. При исследовании напряжений чаще используется метод конечных элементов; в последнее десятилетие этот метод начали использовать и при исследованиях теплообмена и течения жидкости. В методе конечных элементов расчетная область разбивается на элементы, такие, как треугольные элементы. Обычно дискретные аналоги получаются с помощью вариационного принципа, если он существует, или с помощью взвешенных невязок. Для описания изменения зависимой переменной Ф на элементе используются предположения о характере функции формы или профиля. С этой точки зрения метод конечных элементов не следует рассматривать как отличающийся в принципе от конечно-разностного метода. Его дополнительные возможности обусловлены только тем, что при этом методе можно использовать нерегулярную сетку. Разнесенные сетки: в узлах макротр. – рассчитывается давление, в узлах мал.треуг. – поле скор, темп.
Трудности применения. 1. Самая главная трудность связана с аппроксимацией конвективных членов. Прямое применение обычного конечно-элементного метода дает аппроксимацию, может в ряде случаев привести к физически неправдоподобным результатам. 2. В большинстве из опубликованных работ, в которых метод конечных элементов применен к расчету задач гидродинамики для получения полей компонент скорости и давления, используется прямое одновременное решение. Оно очень трудоемко. 3. При построение этих треугольников должны учитываться информация о характере течения и форме тела, причем чем более плотно будет заполняться область, тем боле точным будет решение.
- “Алгоритмы при моделировании гидродинамических процессов”
- Понятие о методе конечных разностей в решении уравнений гидродинамики и тепломассообмена.
- Физическая классификация уравнений гидродинамики и тепломассообмена.
- Консервативная форма уравнений законов сохранения.
- Уравнения Рейнольдса для турбулентных течений. История вопроса.
- Понятие о методах моделирования и расчета турбулентных течений: dns, les, rans.
- Метод контрольного объема.
- Например:
- Устойчивость, консервативность разностных схем. Разностные сетки и преобразование основных уравнений
- Поточечный последовательный метод Гаусса – Зейделя.
- Полилинейный метод и метод переменных направлений
- Итерационные методы. Верхней и нижней релаксации.
- Метод конечных элементов.
- Схемы и алгоритмы расчета теплогидродинамических процессов во внутренних задачах.
- Формула размерности физической величины
- Жидкости и газы. Ньютоновская и неньютоновская жидкости. Закон реологической связи напряжений и скоростей деформаций.
- Понятие о физических свойствах сплошных сред. Изотропия и анизотропия.
- Уравнение подобия. Определяемые и определяющие критерии и числа подобия.
- Ламинарное движение несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрических трубах.
- Современные представления о ламинаризации (прямом и обратном переходах) при движении вязких сред.
- Метод итераций Якоби.
- Решение уравнения диффузии (явная и неявная схемы)
- Уравнение температуропроводности движущейся среды:
- 16. Определение вихревой диффузии и вихревой теплопроводности в рамках статистического метода.
- 17. Метод преобразования координат в решении задач гидродинамики (роль пристеночных эффектов и точность их расчета)
- 18. Понятие о диффузионных задачах Дирихле и Неймана.
- 19. Понятие о численных и аналитических решениях задач гидродинамики, сравнительный анализ и погрешности расчета интегральных параметров течения и теплообмена.