11.4 Виды поверхностей вращения

Поверхности вращения подразделяются.

А. Поверхности, образованные вращением прямой линии вокруг оси i (цилиндр, конус, однополостный гиперболоид). Точки на поверхностях находят с помощью параллелей или образующих (см. рис.35). Определитель поверхностей один ∑(ί, ℓ).

Б. Поверхности, образованные вращением окружности вокруг оси ί (сфера – шаровая поверхность, тор) (см. рис.36).

1. Шаровая поверхность – образующая окружность, вращается вокруг своего диаметра, так как ось вращения ί совпадает с ее диаметром. Экватор ℓ и меридиан к равны: ℓ = к (см. рис.36). Точка С лежит на главном меридиане.. Точка Е лежит на экваторе. Определить т. А, В можно с помощью параллелей своего радиуса R и R¹.

2. Тор - поверхность, образованная при вращении окружности вокруг оси ί принадлежащей плоскости этой окружности, не проходящей через ее центр.

Тор может быть открытым или закрытым в зависимости от R образующей окружности и центра, и расстояния от центра оси вращения (см. рис.37а, б).

В. Поверхности, образованные вращением кривых 2-го порядка (эллипс, парабола, гипербола) вокруг их оси (см. рис.38 а, б, в, г). Эти поверхности могут быть заданы уравнением 2-ой степени.

Рассмотрим поверхности, образованные вращением эллипса, параболы и гиперболы вокруг их осей.

Эллипсоид вращения бывает двух видов:

а) вытянутый, который образуется при вращении эллипса вокруг его большой оси (рис.38);

б) сплюснутый, образованный вращением эллипса вокруг его малой оси.

Параболоид вращения – поверхность, получающаяся вращением параболы вокруг ее оси (рис.39).

При вращении гиперболы могут получиться два вида гиперболоида вращения:

а) однополостный гиперболоид, образующийся при вращении гиперболы вокруг ее мнимой оси (рис. 40а). Однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью, так как может быть образован и вращением прямой ℓ(ℓ_1, ℓ₂) вокруг скрещивающейся с ней оси ί (ί₁, ί₂ ) (рис.41);

б) двуполостный гиперболоид образуется вращением гиперболы вокруг ее действительной оси (рис.40б).

На рис.40 показан также асимптотический конус, который образуется при вращении асимптот гиперболы, причем, однополостный гиперболоид расположен во внешней области асимптотического конуса, а двуполостный гиперболоид – в его внутренней области.

Все рассматриваемые поверхности вращения, за исключением тора, являются алгебраическими поверхностями второго порядка, так как при пересечении прямой линии с каждой из этих поверхностей образуется не более двух точек. В результате пересечения прямой линии с поверхностью тора могут получиться четыре точки. Поэтому тор является поверхностью 4-го порядка.

Построение точки А на каждой из разобранных поверхностей вращения осуществлено с помощью соответствующей параллели (рис.35-41).