Системы дифференциальных уравнений. Модель «хищник – жертва»

Особенно ценным аналитический инструмент фазовых траекторий является в случае, если модель описывается ДУ степени >1 или, что то же, системой ДУ первой степени. В этом случае для модели характерны изменения переменных состояния по периодическому закону и фазовая траектория приобретает вид замкнутой криволинейной фигуры.

Так, например, система автономных ДУ первого порядка в общем виде будет выглядеть как:

Рассмотрим пример. Для исследования процессов в системе из двух популяций, одна из которых является пищей для другой, была предложена модель «хищник – жертва» (модель Вольтера-Лотка, 1925 г.). Пусть x₁ – численность популяции «зайцев» (жертв), а x₂ – численность популяции «волков» (хищников). Модель представляет собой систему двух линейных ДУ следующего вида:

где -скорость размножения популяции жертвы в отсутствие хищника (как быстро будет увеличиваться количество зайцев, если все волки вымрут);

- скорость потребления популяцией хищника популяции жертвы (сколько зайцев съедает один волк за единицу времени);

- естественная смертность хищника (какая часть популяции волков умирает в единицу времени от естественных причин);

- коэффициент переработки потребленной хищником биомассы жертвы в биомассу потомства (сколько зайцев должна съесть одна пара волков, чтобы произвести на свет одну пару потомства).

Стационарные состояния определяется путем решения системы алгебраических уравнений (характеристические уравнения):

Таких точек в области действительных чисел две: и

Решения данной системы ДУ в окрестности ненулевого стационарного состояния будут иметь колебательный характер, например, такой:

На фазовой плоскости с осями x₁, x₂ возможные траектории движения изображающей точки (аттракторы) выглядят следующим образом:

Отметим интересный эффект, многократно подмеченный в живой природе, а впоследствии подтвержденный результатами моделирования. Пусть в системе «хищник – жертва» установился колебательный режим, описываемый аттрактором BC на фазовой плоскости. Предположим, что в момент времени, когда система находилась в точке C (численность хищников – минимальная) произведено принудительное уничтожение (отстрел) некоторого количества хищников. В результате изображающая точка переместилась вниз (точка D) и движется теперь по новому аттрактору AD. Заметим, что амплитуда колебаний численности хищников теперь увеличилась и по прошествии половины полного цикла колебаний система перейдет в точку A. Таким образом, налицо кажущийся парадокс – в результате отстрела пиковая численность хищников не только быстро восстановилась, но и увеличилась (!) по сравнению с первоначальным значением.

На самом деле никакого парадокса здесь нет. Попробуем рассуждать логически. Резко снизив количество хищников, мы тем самым дали толчок росту популяции жертв. Увеличение числа жертв в свою очередь способствовало значительному «улучшению питания» сильно поредевшей популяции хищников, что позволило ей резко повысить рождаемость и в короткие сроки не только восстановить, но и превзойти первоначальную пиковую численность.

Заметим, что анализ фазовых траекторий процесса позволил в данном случае прийти к правильному выводу автоматически, без каких-либо логических размышлений. Это лишь один из примеров, подтверждающий полезность математического моделирования при изучении процессов, протекающих в живой природе.