7.1.5. Аналитическая функция. Дифференциал

Фундаментальным понятием в теории функций комплексного переменного является понятие аналитической функции.

Определение 13. Однозначная функция называется аналитической (голоморфной) в точке z, если она дифференцируема (выполнены условия Коши-Римана (7.1.5)) в некоторой окрестности этой точки. Функция называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке .

Как видно из этого определения, условие аналитичности в точке не совпадает с условием дифференцируемости функции в этой же точке (первое условие более сильное).

Тавтология терминов может показаться странной. Зачем для дифференцируемой функции выдумывать еще одно имя? Тут есть исключительное оправдание. Аналитические функции обладают совершенно неожиданным свойством. Дело заключается в следующем. Обыкновенный анализ приучает к мысли, что функция может быть дифференцируема либо один раз, либо два, либо n раз (функция имеет производную в точке x=0, а производная этой функции при x=0 не существует). Аналитическая функция, дифференцируемая по определению всего один раз в области D, оказывается бесконечно дифференцируемой в D.

Определение 14. Дифференциалом dw аналитической функции w= в точке z называется главная часть ее приращения, т.е.

или .

Отсюда следует, что , т.е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Теорема 2. Для того чтобы функция

была аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого прядка функций u и v были непрерывны на этой области и выполнялись условия Коши – Римана.

Замечание. Если функция аналитична в некоторой области D, то функции и удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа .

Доказательство: действительно, дифференцируя первое из равенств Коши-Римана по y, а второе по x, получаем:

, ,

откуда .

Функции u(x,y), v(x,y) являются гармоническими функциями.

Пример 5. Проверить, является ли функция аналитической. Найти ее производную.

Решение. Находим действительную и мнимую части функции:

.

Таким образом, , . Проверяем условия Коши-Римана (7.1.5):

Условия (7.1.5) выполняются во всех точках комплексной плоскости. Функция дифференцируема, следовательно, аналитична во всех точках этой плоскости. Ее производную найдем по одной из формул (7.1.6), например, по первой:

.

Т.е. .