2.1.3. Доверительная вероятность и доверительный интервал

На практике важно не только получить точечную оценку, но и определить интервал, называемый доверительным, между границами которого с заданной доверительной вероятностью

,

где - уровень значимости; - нижняя и верхняя границы интервала, находится истинное значение оцениваемого параметра.

1.В общем случае, при любом законе распределения СВ, доверительные интервалы можно определять, на основе неравенства Чебышева. Оно определяет вероятность того, что результат измерения не отличается от среднего значения больше чем на половину доверительного интервала

,

где оценка СКО распределения; - положительное число.

Принимая доверительную вероятность Р из неравенства можно определить значение t (табл.2.1).

Таблица 2.1

Таблица вероятностей распределения Чебышева

Полученные с помощью неравенства Чебышева интервалы оказываются слишком широкими для практики. Так, доверительной вероятности 0,9 для многих законов распределений соответствует доверительный интервал 1,6, а по неравенству Чебышева 3,16. В связи с этим оно не получило широкого распространения.

2. Для нормально распределенной СВ и при большом количестве наблюдений (измерений), интервальная оценка определяется следующим образом:

- определяется точечная оценка МО и СКО по приведенным выше формулам.

- выбирается доверительная вероятность Р из рекомендуемого ряда значений 0,90; 0,95; 0,99.

- находятся верхняя и нижняя границы доверительного интервала по уравнениям

, ,

где n – количество измеренных значений(объем выборки); - аргумент функции Лапласа , отвечающей вероятности Р/2. Половина длины доверительного интервала , называется доверительной границей погрешности результата измерений.

3. Для нормально распределенной СВ, но при малом количестве наблюдений (измерений), что обычно бывает на практике, верхняя и нижняя границы доверительного интервала определяются по уравнениям

, .

А половина длины доверительного интервала равна

,

где -коэффициент Стьюдента, рассчитанный для различных значений доверительной вероятности и числа измерений, табулирован.

4. В тех случаях, когда распределение СВ не является нормальным, все же часто пользуются распределением Стьюдента с приближением, степень которого остается неизвестной. Распределение Стьюдента применяют при числе измерений n < 30, поскольку уже при n = 2030 оно переходит в нормальное. Результат измерения записывается в виде ; Р = Р_д, где Р_д – конкретное значение доверительной вероятности.

Полученный результат измерения не является одним конкретным числом, а представляет собой интервал, внутри которого с некоторой вероятностью Р_д находится истинное значение измеряемой величины. Выделение середины интервала не означает, что истинное значение ближе к нему, чем к остальным точкам интервала. Оно может быть в любом месте интервала, а с вероятностью 1 - Р_д даже вне его.