2.1.2. Точечные оценки законов распределения

На практике все результаты измерений и случайные погрешности являются величинами дискретными. При использовании дискретных СВ возникает задача нахождения точечных оценок параметров их функций распределения на основании статистической совокупности, которая в этом случае называется выборкой. Выборка должна быть репрезентативной (представительной), то есть должна хорошо представлять генеральную совокупность. Генеральная совокупность - статистическая совокупность, содержащая в себе все возможные значения СВ.

Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. Точечная оценка может быть состоятельной, несмещенной и эффективной.

Состоятельной называется оценка, которая при увеличении объема выборки стремится по вероятности к истинному значению числовой характеристики.

Несмещенной называется оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой числовой характеристике.

Эффективной называется несмещенная оценка, имеющая наименьшую дисперсию из нескольких оценок.

Точечной оценкой математического ожидания(МО) результата измерений является среднее арифметическое значение измеряемой величины

,

где n – объем выборки; х_i – значение СВ.

При любом законе распределения оно является состоятельной и несмещенной оценкой, а также наиболее эффективной по критерию наименьших квадратов.

Точечная оценка дисперсии (состоятельная и несмещенная) определяется по формуле

.

Среднее квадратическое отклонение(СКО) СВ определяется как корень квадратный из дисперсии. Однако операция извлечения корня является нелинейной процедурой и приводит к смещенности получаемой таким образом оценки. Для исправления оценки СКО вводится поправочный множитель k(n), зависящий от числа наблюдений (объема выборки n). Он изменяется от k(3) = 1,13 до k()  1,03. Тогда оценка СКО

.

Полученные оценки МО и СКО являются СВ. Это проявляется в том, что при повторениях серий из n наблюдений каждый раз будут получаться различные оценки и . Так как большое число измерений проводится довольно редко, то возникающая по этой причине погрешность обычно значительно больше погрешности, из-за смещенности оценки, обусловленной извлечением квадратного корня. Поэтому на практике поправочным множителем пренебрегают, то есть считают его равным 1.

Точечные оценки других параметров распределений (коэффициента асимметрии, эксцесса) используются значительно реже.