Критерий колмогорова

Кроме критерия Пирсона, для оценки степени согласованности теоретического и эмпирического(статистического) распределений на практике применяется еще и ряд других критериев. Рассмотрим кратко критерий Колмогорова.

В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями А.Н. Колмогоров рассматривает максимальное значение модуля разности между статистической функцией распределения F^*(x) и выбранной теоретической функции распределения F(x) (рис.1.3):

Основанием для выбора в качестве меры расхождения величины D является простота ее вычисления и достаточно простой закон распределения. Колмогоров доказал, что какова бы ни была функция распределения F(x) непрерывной СВ Х, при неограниченном возрастании числа независимых наблюдений n вероятность неравенства

стремится к пределу

Значения вероятности , подсчитанные по этой формуле, приведены в таблице1.3.

Таблица 1.3

Значения критерия Колмогорова

Схема применения критерия Колмогорова следующая:

1. Строятся статистическая функция распределения F^*(x) и предполагаемая теоретическая функция распределения F(x) (рис.1.3). Для их построения составляется таблица с результатами расчетов этих функций по форме табл. 1.4.

Функции рассчитываются для нижних границ интервалов, полученных при построении статистического ряда (табл.1.1), используемого затем для построения гистограммы. Оттуда же берутся и вероятности F^*(x) равные соответствующим частотам . Значения теоретической функции распределения F(x) рассчитываются по функции, описывающей выбранное для сравнения распределение СВ Х.

При выборе нормальной функции распределения ее значения определяются с использованием функции Лапласа , значения которой табулированы и приведены в табл. П.1.3. Порядок использования этой таблицы аналогичен порядку, применяемому при расчете критерия Пирсона.

Таблица 1.4

Результаты расчета статистической F^*(x) и теоретической F(x) функций распределения

Значение контролируемого параметра			…		…
Значение статистической функции распределения F*(x)			…		…
Значение теоретической функции распределения F(x)			…		…

2. Определяется максимум D модуля разности между функциями F^*(x) и F(x) (рис. 1.3).

3. Определяется величина

.

4. По табл.1.3 при выбранной вероятности (обычно выбирается, как и ранее, близкой к 0,9 или 0,95) определяется критическое значение .

5. Сравниваются значения и . Если при этом

< то гипотеза о соответствии выбранной теоретической функции распределения F(x) и статистической F^*(x) с вероятностью Р принимается, и функцию F(x) можно использовать для описания статистического распределения, если

> ., то гипотеза с вероятностью Р отвергается и выбранную теоретическую функцию распределения F(x) нельзя использовать для описания статистического распределения.

Критерий Колмогорова своей простотой выгодно отличается от описанного ранее критерия ², поэтому его часто применяют на практике. Однако, этот критерий можно применять только в том случае, когда гипотетическое распределение F(x) полностью известно из каких-либо теоретических соображений. Такой случай на практике встречается довольно редко. Обычно известен только общий вид функции распределения F(x), а входящие в нее числовые параметры (у нормального закона это 2 параметра: математическое ожидание и дисперсия) определяются по исследуемому статистическому материалу.

При применении критерия Пирсона это обстоятельство учитывается соответствующим уменьшением числа степеней свободы распределения ². Критерий же Колмогорова такого не предусматривает. Если все же применять этот критерий в тех случаях, когда параметры теоретического распределения выбираются по статистически данным, критерий дает заведомо завышенные значения вероятности . Поэтому в ряде случаев мы рискуем принять неверную гипотезу за верную.