§2. Изопериметрическое и другие экстремальные свойства правильных многоугольников

Докажем следующую теорему

Теорема 1. а) Среди выпуклых n-угольников, лежащих в данном круге, наибольшую площадь (и периметр) имеет вписанный в этот круг правильный n-угольник.

б) Среди n-угольников, содержащих данный круг, наименьшую площадь (и периметр) имеет описанный около этого круга правильный n-угольник.

в) Среди n-угольников с данным периметром наибольшую площадь имеет правильный n-угольник.

Для доказательства теоремы понадобятся пять вспомогательных утверждений, доказать которое мы предлагаем читетелю в качестве упражнений.