§ 8. Применение уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной: задачи из физики

Рассмотрим еще один пример применения дифференциальных уравнений, а именно в задачах физики. Отметим, что рассмотренные в настоящей Главе методы решения дифференциальных уравнений, не разрешённых относительно производной, значительно расширяют возможности исследования физических процессов с применением дифференциальных уравнений!..

☺☺

Пример 5–11: Найти общее уравнение линии, по которой распространяется свет, если оптическая среда распространения луча такова, что скорость распространения света в данной точке обратно пропорциональна ординате этой точки. Световой луч выходит из точки =. Закон преломления света записан в виде: ==const, где – угол наклона касательной к траектории луча в выделенной точке, – скорость луча в той же точке.

Решение:

1). Из условия следует: =, где – некоторая константа. Учитывая условие задачи, для скорости луча запишем: =, где – коэффициент пропорциональности, упомянутый в условии задачи. Тогда можем записать: , где обозначено (для удобства): .

2). Теперь учтём, что =. Тогда можем записать: =– дифференциальное уравнение типа: .

3). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: ==. Тогда (используя свойство гиперболического синуса) получим: , откуда . В то же время имеем выражение: . Сравнивая выражения для величин , получаем: .

4). Интегрируя уравнение, получаем: (знак минус перед величиной применён для удобства дальнейших записей).

5). Составим систему: – это параметрическое решение. Исключая параметр , получаем окончательно – общее решение заданного уравнения. На рисунке показано несколько интегральных кривых для случая . Видим: при заданном параметре изменение произвольной постоянной вызывает смещение кривой вдоль оси «вправо-влево» по известному правилу.

6). Используя начальные условия: при значении , находим: =. Записываем частное решение: .

Ответ: – общее решение, частное решение: .

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Как определяют уравнение 1-го порядка, не разрешённое относительно производной?

2. Каковы основные типы уравнений, не разрешённых относительно производной?

3. Как вводят параметр при решении уравнения y=φ(y′)?

4. Как вводят параметр при решении уравнения x=φ(y′)?

5. Как вводят параметр при решении уравнения F(y,y′)=0?

6. Как вводят параметр при решении уравнения F(x,y′)=0?

7. Что такое дифференциальное уравнения Лагранжа?

8. Привести пример применения уравнений, не разрешённых относительно производной для решения задачи из геометрии.

9. Привести пример применения уравнений, не разрешённых относительно производной для решения задачи из физики.

• ◄ ≡ ► •