§ 5. Уравнение, не разрешенное относительно y и не содержащее X.

Из названия параграфа следует, что дифференциальное уравнение имеет вид: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:

1). Примем: =, то есть . Предположим, что из уравнения удалось выразить , причём будем считать . Это значит, что и будет функцией параметра . Пусть эта функция имеет вид: =. Тогда = и =.

Замечание: Можно принять =, а функцию вычислить из заданного уравнения : дальнейшие шаги алгоритма не изменятся!

2). Используя оба выражения для величины , запишем = – уравнение с разделяющимися переменными. Перепишем это уравнение: =. Тогда =.

3). Составим систему: – это параметрическое решение уравнения .

Замечание: Нетрудно догадаться, что рассмотренный способ решения уравнения может применяться и в тех случаях, когда уравнение имеет вид: .

☺☺

Пример 5–06: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: ==. Тогда (используя свойство гиперболического синуса) получим: , откуда . В то же время имеем выражение: . Сравнивая выражения для величин , получаем: .

2). Интегрируя уравнение, получаем: (знак минус перед величиной применён для удобства дальнейших записей).

3). Составим систему: – это параметрическое решение. Исключая параметр , получаем окончательно – общее решение заданного уравнения.

Ответ: – общее решение в параметрической форме, или .

☻