§ 1. Общие положения.

Мы рассмотрим только некоторые из типов уравнений, неразрешённых относительно производной , причём имеющие специальную (легко распознаваемую) форму записи и стандартные алгоритмы решения. К таким уравнениям отнесём:

• многочлены - ой степени относительно символа;

• специальные формы записи уравнения , поддающиеся решению.

Для решения уравнения , не разрешённого относительно производной, в самом общем случае, можно было бы назватьметод параметрического решенияуравнения. Суть метода такова. Предположим, чтоудалосьнайти параметрическое представление переменных уравнения:,,, (1)

причем функции (1) обращают уравнение в тождество, то есть представляют решение этого уравнения.

Применение функций (1) сводит задачу к интегрированию уравнения разрешенного относительно производной. Действительно, воспользовавшись соотношением:, получим:

(2)

или . (3)

Предположим, что уравнение (3), имеющее нормальную форму записи, удалось решить, то есть найдено общее решение: (4)

В таком случае можем считать, что получено общее решениеуравнениявпараметрической форме:,. (5)

Если уравнение (3) имеет особое решение: , (6)

то функции ,(7)

могут определять особое решение уравнения . Определение особого решения, а также способы его нахождения в некоторых частных случаях рассмотрены в Главе 8.

Замечание: решение уравненияв параметрической форме предполагает значительные импровизации: общих схем нет; трудности интегрирования уравнения(3)такие же, как и в случае интегрирования уравнения:.

Рассмотрим некоторые частные случаи записи уравнения и способы решения уравнений для каждого предлагаемого случая (с применением общих схем).