§ 2. Уравнения 1-го порядка: многочлен - ой степени относительно символа .

Пусть уравнение есть многочлен - ой степени относительно символа :

, (1)

где – функции от переменных:(в частном случае постоянные).

В высшей алгебре доказано (теорема Безу), что многочлен левой части уравнения (1) в любом случае может быть преобразован в произведение простейших множителей:

. (2)

Это значит, исходное уравнение (1) порождает столько уравнений в нормальной форме, сколько различных скобок в записи (2). Решение каждого такого уравнения даст функцию , являющуюся решением заданного уравнения (1).

Замечание: На самом деле, начиная с многочлена 3-й степени, процесс разложения многочлена в произведение простейших скобок весьма трудоёмкий!..

Учтём все решения каждого из уравнений и запишем произведение: . (3)

Если разрешить уравнение (3) относительно , то это будет решением исходного дифференциального уравнения (1). Действительно, так как функция есть решение уравнения (3), то выполняется одно из уравнений: . Тогда, подстановка функции в равенство (2) превращает последнее в тождество (2). Последнее означает, что подстановка функции в равенство (1) превращает последнее в тождество (1). Тогда, по определению, функция есть решение исходного равнения.

Запись (3) является общим интегралом исходного уравнения (1). Для иллюстрации решения уравнения (1) рассмотрим пример.

☺☺

Пример 5–01: Найти общий интеграл уравнения: .

Решение:

1). Левую часть уравнения представим в виде: ∙=0.

2). Получили два уравнения: =0 и =0 с разделяющимися переменными.

3). Общие интегралы этих уравнений: – С –=0, – С +=0.

4). Общий интеграл исходного уравнения: – =0.

Ответ: общее решение: – =0.

☻