§ 6. Кратные тригонометрические ряды фурье
Кратным тригонометрическим рядом Фурье функции
f(x) =f(x1, x2 хk) называется ряд вида
…(8.88)
в котором числа называемые коэффициентами Фурье, определяются равенствами
(8.89)
а символ (х,n) обозначает скалярное произведение векторов х и n, равное x1n1+x2n2+…+xNnN.
Конечно, кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88) можно рассматривать как ряд Фурье по ортонормированной (в N-мерном кубе П) системе41), образованной с помощью всевозможных произведений элементов одномерных тригонометрических систем, взятых от переменных x1, x2, …, xN соответственно. Эту ортонормированную систему принято называть кратной тригонометрической системой.
Как и для всякой ортонормированной системы, для кратной тригонометрической системы справедливо неравенство Б е с с е л я, которое имеет вид
…
(8.90)
где f(х1, x2, …, xN) — любая непрерывная в N-мерном кубе П функция.
Рассмотрим вопрос о сходимости тригонометрического ряда Фурье. Если этот ряд не сходится в данной точке х=( х1, x2, …, xN) абсолютно, то вопрос о его сходимости (в силу теоремы Римана 1.10) зависит от порядка следования его членов (или, что то же самое, от порядка суммирования по индексам n1, n2, …, nN).
Широко распространены два способа суммирования кратного тригонометрического ряда Фурье — сферический и прямоугольный.
- Ряды фурье
- §1. Ортонормированные системы и общие ряды фурье
- §2. Замкнутые и полные ортонормированные системы
- §3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее
- 3. Следствия замкнутости тригонометрической системы.
- §4. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференцирования тригонометрического ряда фурье
- 2. Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.
- §5. Более точные условия равномерной сходимости и условия сходимости в данной точке
- 3. Вспомогательные предложения.
- § 6. Кратные тригонометрические ряды фурье
- Глава 9 преобразование фурье
- § 1. Представление функции интегралом фурье
- 2. Основная теорема. Формула обращения.
- § 2. Некоторые свойства преобразования фурье
- § 3. Кратный интеграл фурье