§ 1. Представление функции интегралом фурье
Всюду в дальнейшем подчиним функцию f(x) требованию абсолютной интегрируемости на прямой , т. е. потребуем,чтобы сходился несобственный интеграл
. (9.1)
Определение 1. Будем говорить, что функция f(x) принадлежит на прямой классу L1 и писать , если функция f(x) интегрируема (в собственном смысле Римана) на любом сегменте (говорят, что f(x) — локально интегрируема) и если сходится несобственный интеграл (9.1).
1. Вспомогательные утверждения. Заметим, что в дальнейшем комплексная функция вещественного аргумента будет рассматриваться как пара вещественных функций и()и v ():g()-u ()+iv(). Непрерывность g()в данной точке понимается как непрерывность в этой точке каждой из функцийи()и v ().
Лемма 1. Если , то для любой точки числовой прямой существует несобственный интеграл
, (9.2)
называемый преобразованием Фурье (или образом Фурье) функции f(x). Функция g() непрерывна по в каждой точке числовой прямой.
Доказательство. Из равенстваи изсходимости интеграла (9.1) вытекает существование несобственного интеграла g():
.
Из признака Вейерштрасса (см. теорему 7.8) вытекает равномерная по сходимость интеграла (9.2); отсюда в силу непрерывности еЯх по легко следует непрерывность g() на каждом сегменте, т. е. в каждой точке числовой прямой.
Лемма 2 (лемма Римана). Пусть функции f (x) — локально интегрируема на и [а, b] — произвольный фиксированный интервал числовой прямой; тогда
при ( — вещественное число).
Доказательство. Фиксируем произвольное число. Так как функцияf(x) по условию теоремы локально интегрируема на числовой прямой, то f(x) интегрируема на заданном сегменте [а, b]. Поэтому для выбранного числа найдется такое разбиение Т сегмента [а, b] на частичные сегменты
[хк-1, хк] (k=1, 2, ..., п, a=x0<x1<x2< ... <хп=b), что для нижней суммы Дарбу sT справедливы неравенства
Напомним, что
,
где
,
Рассмотрим кусочно постоянную на сегменте [а, b] функцию p(x)=mj, при ,,j=1, 2, …, n, p(x0)=m1. Очевидно, на [а, b] и для всех вещественных чисел
Но для фиксированного нами разбиения Т
при. Таким образом, приинтеграл
стремится к нулю. Лемма доказана.
Лемма 3. Преобразование Фурье g() функции стремится к нулю при , т.е.
Доказательство. Фиксируем произвольное число . В силу сходимости интеграла (9.1) можно выбрать числоA>0 такое, что
.
При таком А справедливо неравенство
Последний интеграл при достаточно большом || может быть, оценен сверху числом (см. лемму 2). Так какпроизвольно, то . Лемма доказана. В качестве следствия из леммы 3 получаем ,
- Ряды фурье
- §1. Ортонормированные системы и общие ряды фурье
- §2. Замкнутые и полные ортонормированные системы
- §3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее
- 3. Следствия замкнутости тригонометрической системы.
- §4. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференцирования тригонометрического ряда фурье
- 2. Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.
- §5. Более точные условия равномерной сходимости и условия сходимости в данной точке
- 3. Вспомогательные предложения.
- § 6. Кратные тригонометрические ряды фурье
- Глава 9 преобразование фурье
- § 1. Представление функции интегралом фурье
- 2. Основная теорема. Формула обращения.
- § 2. Некоторые свойства преобразования фурье
- § 3. Кратный интеграл фурье