§ 6. Кратные тригонометрические ряды фурье

Кратным тригонометрическим рядом Фурье функции

f(x) =f(x₁, x₂ х_k) называется ряд вида

…(8.88)

в котором числа называемые коэффициентами Фурье, определяются равенствами

(8.89)

а символ (х,n) обозначает скалярное произведение векторов х и n, равное x₁n₁+x₂n₂+…+x_Nn_N.

Конечно, кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88) можно рассматривать как ряд Фурье по ортонормированной (в N-мерном кубе П) системе⁴¹⁾, образованной с помощью всевоз­можных произведений элементов одномерных тригонометриче­ских систем, взятых от переменных x₁, x₂, …, x_N соответственно. Эту ортонормированную систему принято называть крат­ной тригонометрической системой.

Как и для всякой ортонормированной системы, для кратной тригонометрической системы справедливо неравенство Б е с с е л я, которое имеет вид

…

(8.90)

где f(х₁, x₂, …, x_N) — любая непрерывная в N-мерном кубе П функция.

Рассмотрим вопрос о сходимости тригонометрического ряда Фурье. Если этот ряд не сходится в данной точке х=( х₁, x₂, …, x_N) абсолютно, то вопрос о его сходимости (в силу теоре­мы Римана 1.10) зависит от порядка следования его членов (или, что то же самое, от порядка суммирования по индексам n₁, n₂, …, n_N).

Широко распространены два способа суммирования кратно­го тригонометрического ряда Фурье — сферический и прямо­угольный.