2. Основная теорема. Формула обращения.
Определение 1. Для каждой функции f(x) из класса назовем предел
(9.3)
(лри условии, что этот предел существует) разложением функции f(x) в интеграл Фурье.
Возникает вопрос о существовании разложения функции f(x) в интеграл Фурье (9.3). Ответ дается следующей теоремой.
Теорема 9.1. Если функция и если f(x) удовлетворяет в данной точке х справа условию Гёльдера порядка , где, а слева условию Гёльдера порядка , где, то в данной точке х выполнено равенство
.
Таким образом, в каждой точке х, в которой значение f(x) равно полусумме в частности, в каждой точке непрерывности f(x), справедливо равенство
, (9.4)
в котором несобственный интеграл понимается в смысле главного значения, т. е. при симметричном стремлении пределов интегрирования к бесконечности.
Доказательство. Поскольку g(λ) — непрерывная функция, то при любом А>0 существует интеграл
В силу того что интеграл, заключенный в квадратные скобки, равномерно по λ сходится на любом сегменте [-А, А], можно поменять порядок интегрирования относительно t и λ. Воспользовавшись равенствами
а также заменой t=x+u, получим
Следовательно, при любом А>0
Поскольку
то
Вычитая последние два равенства из (9.5), получим
(9.6)
Так как функция f(x) удовлетворяет справа условию Гёльдера порядка , то существует постояннаяМ1 такая, что для достаточно малых положительных u будет выполнено неравенство
(*)
Аналогично из условия Гёльдера слева порядка получаем неравенство
(**)
для всех достаточно малых по модулю отрицательных u. Пусть ,. Тогда неравенства (*) и (**) можно записать в виде одного:
(9.7)
при , гдедостаточно мало.
Перепишем соотношение (9.6) в следующем виде:
(9.8)
Пусть фиксировано произвольное , аδ выбрано из условия и так, чтобы прибыло справедливо (9.7). оценим первые два интеграла в правой части (9.8). пользуясь (9.7), получим
Аналогично
Поэтому в силу выбора δ
(9.9)
Для оценки третьего интеграла в правой части (9.8) рассмотрим функцию
Функция q(u) принадлежит классу , а поэтому в силу леммы Римана
Но это и означает, что для фиксированного нами произвольного существует числоN1, такое, что при A≥N1
(9.10)
Далее,
при . Отсюда следует, что для фиксированного нами произвольногои рассматриваемой точких найдется N2 такое, что
(9.11)
при A≥N2 . Пусть . Тогда, подставляя (9.9) -- (9.11) в (9.8), получаем, что приA>N
Теорема доказана.
Замечание. Требования, налагаемые на функцию f(x) в теореме 9.1, можно несколько ослабить.
Определение 2. Будем говорить, что функция f(x), заданная в некоторой проколотой окрестности точки х, удовлетворяет е точке х уеловиям Лини, если:
а) в точке х существуют оба односторонних предела
б) для какого-нибудь положительного значения е оба интег рала
сходятся абсолютно.
Ясно, что если функция f(х) удовлетворяет в точке х справа и слева условию Гёльдера
то, поскольку
для функции f(x) выполнено и условие Дини.
Обратное, конечно, неверно. Можно доказать, что условие Дини тем не менее обеспечивает разложение функции f(х) в интеграл Фурье в данной точке.
Сделаем некоторые выводы из полученных результатов. При условии у функции f(x) существует преобразование Фурье
обозначим его так: g(λ)=F(f), где F — оператор Фурье, применяемый к функции f.
При выполнении условий теоремы 9.1 и условия как мы доказали, функция f{x) разлагается в интеграл Фурье, т. е. справедлива формула
Эту формулу называют обратным преобразованием
ный оператор Фурье, применяемый к функции g(\), т. е. к образу Фурье Фурье. Обозначим ее так: , где F-1 – обратный оператор Фурье, применяемый к функции g(λ), т. е. к образу Фурье функции f(х).
Отметим, что хотя формулы преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье внешне похожи (см. формулы (9.2) и (9.4)), по существу они различны: в первой из них интеграл существует в обычном смысле (поскольку ), а во второй, вообще говоря, лишь в смысле главного значения. Кроме того, равенство (9.2) — это определение функции g(λ), а в равенстве (9.4) содержится утверждение о том, что интеграл равен исходной функции f{x).
3. Примеры. Рассмотрим прямое и обратное преобразования Фурье для случаев четной и нечетной функций.
1°. Случай четной функции f(x). Очевидно, в случае, если f(x)=f(-x), из формулы (9.2) получаем
Отсюда следует, что g (А,) тоже четная функция. Поэтому
Первую из этих формул называют прямым косинус-преобразованием Фурье функции f(x), а вторую — обратным косинус-преобразованием Фурье.
2°. Случай нечетной функции f(x). Пусть . Тогда, очевидно, получим прямое синус-преобразование Фурье
и обратное синус-преобразование Фурье
3°. Пусть ,. Тогда
С помощью двукратного интегрирования по частям находим
4°. Пусть
Тогда
Заметим, что g(λ) не принадлежит .
- Ряды фурье
- §1. Ортонормированные системы и общие ряды фурье
- §2. Замкнутые и полные ортонормированные системы
- §3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее
- 3. Следствия замкнутости тригонометрической системы.
- §4. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференцирования тригонометрического ряда фурье
- 2. Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.
- §5. Более точные условия равномерной сходимости и условия сходимости в данной точке
- 3. Вспомогательные предложения.
- § 6. Кратные тригонометрические ряды фурье
- Глава 9 преобразование фурье
- § 1. Представление функции интегралом фурье
- 2. Основная теорема. Формула обращения.
- § 2. Некоторые свойства преобразования фурье
- § 3. Кратный интеграл фурье