§ 6. Уравнение, не разрешенное относительно X и не содержащее y.

Из названия параграфа следует, что дифференциальное уравнение имеет вид: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:

1). Запишем (по определению): . Пусть . Предположим, что из уравнения удаётся выразить . Тогда =.

Замечание: Можно принять и вычислить: из заданного уравнения . Дальнейшие шаги алгоритма не изменятся!

2). Интегрируя уравнение =, получим: =.

3). Составим систему: – это параметрическое решение дифференциального уравнения .

Замечание: Нетрудно догадаться, что рассмотренный способ решения уравнения может применяться и в тех случаях, когда уравнение имеет вид: .

☺☺

Пример 5–06: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: =. Тогда (используя свойство гиперболического синуса) получим: . Теперь запишем: =.

2). Интегрируя уравнение =, получаем: ==.

3). Составим систему: – это параметрическое решение. Исключая параметр , можно получить явное выражение – общее решение заданного уравнения.

Ответ: – общее решение в параметрической форме, или .

Замечание: Вычисление выражения , при необходимости, получить нетрудно!

☻