7 Инварианты кривой второго порядка

Определение 7.1. Инвариантами кривой второго порядка называются функции от коэффициентов общего уравнения кривой, значения которых не изменяются при преобразовании декартовой системы координат. Рассмотрим снова общее уравнение кривой второго порядка   Введем следующие обозначения: Тогда нетрудно проверить, что  . ТЕОРЕМА 7.1.Следующие функции от коэффициентов общего уравнения кривой являются инвариантами кривой второго порядка: Доказательство. Инвариантность данных функций можно провести отдельно для параллельного переноса и поворота простым подсчетом. Проведем его для параллельного переноса. Согласно формулам  , имеем   и . Далее Умножим первую строку на   , вторую - на   и прибавим к третьей, а затем в полученном определители, выполняем аналогичные преобразования со столбцами. От этого как известно определитель не изменится. Получим Таким образом, доказана инвариантность относительно параллельного переноса. Проведем доказательство инвариантности данных функций относительно поворота.Используя первое и третье из равенств  получаем Далее используя формулы  , получим Что и требовалось доказать. Докажем еще одну ТЕОРЕМА 7.2. Функция является инвариантом поворота; если же функция после поворота может быть приведена к виду то   является инвариантом параллельного переноса. Доказательство. Рассмотрим семейство кривых второго порядка Выполняя поворот на угол   (См. формулы  ), получим семейство кривых второго порядка так как,очевидно,  . Используем доказанную инвариантность функции  по отношению к кривой, соответствующей параметру  , получим Приравнивая коэффициенты при   в первой степени в левой и правой частях этого равенства, получим требуемое. Этим доказана первая часть теоремы. Перейдем к доказательству второй части. Пусть после выполнения поворота уравнение кривой принимает вид . Выполним теперь параллельный перенос:  . Функция   перейдет в функцию Подсчитаем   для   и  . Получаем Что и требовалось доказать.