Реализация численного метода решения

Для реализации математической модели используем программу MatLab.

Построим график численности популяции в зависимости от времени, используя процедуру ode45 (решающую задачу Коши).

Процедура 1 (lab_8_3.m, описывающая функцию зависимости численности от t):

function yp=yp2(t,N)

a=0.5; % задаём коэффициент α

Np=50; % задаём равновесное значение численности популяции

yp=a*(1-N/Np)*N; % описываем функцию зависимости отt

Процедура 2 (lab_8_4.m, решающая задачу Коши, выдающая результат в виде графиков):

clear; % очищаем память

figure; % создаём заготовку, на которой потом будем рисовать

axis([0 70 0 100])

hold; % объединяем графики

fori=1:10; % создаём цикл

[t,NN]=ode45('lab_8_3',[0 70],i*10); % решаем задачу Коши, меняя значениеn0

plot(t,NN,'r-') % рисуем по полученным значениям графики

end % конец цикла

Получаем графики, изображающие логистические кривые, соответствующие различным значениям начальной численности N(0):

Для а=0.1 график изображён на Рис. 7:

Рис. 7

Для а=0.5 график изображён на Рис. 8:

Рис. 8

4. Вывод

В простой модели Мальтуса при =численность остаётся постоянной, т.е. в этом случае решением уравнения является равновесная величинаN(0). Равновесие между рождаемостью и смертностью неустойчиво в том смысле, что даже небольшое нарушение равенства=приводит с течением времени ко всё большему отклонению функцииN(t) от равновесного значенияN(0). При<численность населения убывает и стремится к нулю при, а при>растёт по некоторому экспоненциальному закону, обращаясь в бесконечность при. Последнее обстоятельство и послужило основанием для опасения Мальтуса о грядущем перенаселении Земли со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Поведение функции N(t) в усложнённой модели Мальтуса описывается так называемой логистической кривой. При любомN(0) численность стремится к равновесному значению, причём тем медленней, чем величинаN(t) ближе кN(0). Тем самым равновесие, в отличие от простой модели Мальтуса, устойчиво.

Тем самым данная модель более реалистично описывает динамику популяции, но сама она с необходимостью становится нелинейной и поэтому более сложной.