Воронка наибольшей вместимости

ЗАДАЧА

Из жестяного круга нужно изготовить коническую часть воронки. Для этого в круге вырезают сектор и остальную часть круга свертывают конусом (рис.31). Сколько градусов должно быть в дуге вырезаемого сектора, чтобы конус получился наибольшей вместимости?

Рис. 31.

РЕШЕНИЕ

Длину дуги той части круга, которая свертывается в конус, обозначим через х (в линейных мерах). Следовательно, образующей конуса будет радиус R жестяного круга, а окружность основания будет равна x. Радиус r основания конуса определяем из равенства

2 r = x, откуда .

Высота конуса (по теореме Пифагора)

(рис. 31). Объем этого конуса имеет значение

.

Это выражение достигает наибольшей величины одновременно с выражением

.

и его квадратом

.

Так как

есть величина постоянная, то (на основании доказанного в разделе "Когда произведение наибольшее?") последнее произведение имеет максимум при том значении х, когда

,

откуда

,

и .

В градусах дуга x   295° и, значит, дуга вырезаемого сектора должна содержать   65°.

<Paaaa