Сто тысяч за доказательство теоремы

Одна задача из области неопределенных уравнений приобрела громкую известность, так как за правильное ее решение было завещано целое состояние: 100 000 немецких марок!

Задача состоит в том, чтобы доказать следующее положение, носящее название теоремы, или "великого предложения" Ферма:

Сумма одинаковых степеней двух целых чисел не может быть той же степенью какого-либо третьего целого числа. Исключение составляет лишь вторая степень, для которой это возможно.

Иначе говоря, надо доказать, что уравнение

xⁿ + yⁿ = zⁿ

неразрешимо в целых числах для n > 2.

Поясним сказанное. Мы видели, что уравнения

x² + y² = z²,

x³ + y³ + z³ = t³

имеют сколько угодно целочисленных решений. Но попробуйте подыскать три целых положительных числа, для которых было бы выполнено равенство x³ + y³ = z³; ваши поиски останутся тщетными.

Тот же неуспех ожидает вас и при подыскании примеров для четвертой, пятой, шестой и т. д. степеней. Это и утверждает "великое предложение Ферма".

Что же требуется от соискателей премии? Они должны доказать это положение для всех тех степеней, для которых оно верно. Дело в том, что теорема Ферма еще не доказана и висит, так сказать, в воздухе.

Прошло три столетия с тех пор, как она высказана, но математикам не удалось до сих пор найти ее доказательства.

Величайшие математики трудились над этой проблемой, однако в лучшем случае им удавалось доказать теорему лишь для того или иного отдельного показателя или для групп показателей, необходимо же найти общее доказательство для всякого целого показателя.

Замечательно, что неуловимое доказательство теоремы Ферма, по-видимому, однажды уже было найдено, но затем вновь утрачено. Автор теоремы, гениальный математик XVII в. Пьер Ферма [Ферма (1603–1665) не был профессионалом-математиком. Юрист по образованию, советник парламента, он занимался математическими изысканиями лишь между делом. Это не помешало ему сделать ряд чрезвычайно важных открытий, которых он, впрочем, не публиковал, а по обычаю той эпохи сообщал в письмах к своим ученым друзьям: к Паскалю, Декарту, Гюйгенсу, Робервалю и др.], утверждал, что ее доказательство ему известно. Свое "великое предложение" он записал (как и ряд других теорем из теории чисел) в виде заметки на полях сочинения Диофанта, сопроводив его такой припиской:

"Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но здесь мало места, чтобы его привести".

Ни в бумагах великого математика, ни в его переписке, нигде вообще в другом месте следов этого доказательства найти не удалось.

Последователям Ферма пришлось идти самостоятельным путем.

Вот результаты этих усилий: Эйлер (1797) доказал теорему Ферма для третьей и четвертой степеней; для пятой степени ее доказал Лежандр (1823), для седьмой [Для составных показателей (кроме 4) особого доказательства не требуется: эти случаи сводятся к случаям с простыми показателями.] – Ламе и Лебег (1840). В 1849 г. Куммер доказал теорему для обширной группы степеней и, между прочим, – для всех показателей, меньших ста. Эти последние работы далеко выходят за пределы той области математики, какая знакома была Ферма, и становится загадочным, как мог последний разыскать общее доказательство своего "великого предложения". Впрочем, возможно, он ошибался.

Интересующимся историей и современным состоянием задачи Ферма можно рекомендовать брошюру А. Я. Хинчина "Великая теорема Ферма". Написанная специалистом, брошюра эта предполагает у читателя лишь элементарные знания из математики.

<Paaaa

Глава пятая. ШЕСТОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ

<Paaaa

Шестое действие

Сложение и умножение имеют по одному обратному действию, которые называются вычитанием и делением. Пятое математическое действие – возведение в степень – имеет два обратных: разыскание основания и разыскание показателя. Разыскание основания есть шестое математическое действие и называется извлечением корня. Нахождение показателя – седьмое действие – называется логарифмированием. Причину того, что возведение в степень имеет два обратных действия, в то время как сложение и умножение – только по одному, понять нетрудно: оба слагаемых (первое и второе) равноправны, их можно поменять местами; то же верно относительно умножения; однако числа, участвующие в возведении в степень, т. е. основание и показатель степени, неравноправны между собой; переставить их, вообще говоря, нельзя (например, 3⁵   5³). Поэтому разыскание каждого из чисел, участвующих в сложении и умножении, производится одинаковыми приемами, а разыскание основания степени и показателя степени выполняется различным образом.

Шестое действие, извлечение корня, обозначается знаком . Не все знают, что это – видоизменение латинской буквы r, начальной в латинском слове, означающем "корень". Было время (XVI в.), когда знаком корня служила не строчная, а прописная буква R, а рядом с ней ставилась первая буква латинских слов "квадратный" (q) или "кубический" (с), чтобы указать, какой именно корень, требуется извлечь. [В учебнике математики Магницкого, по которому обучались у нас в течение всей первой половины XVIII в., вовсе нет особого знака для действия извлечения корня.] Например, писали

R.q.4352

вместо нынешнего обозначения

.

Если прибавить к этому, что в ту эпоху еще не вошли в общее употребление, нынешние знаки для плюса и минуса, а вместо них писали буквы р. и т., и что наши скобки заменяли знаками |_ _|, то станет ясно, какой необычный для современного глаза вид должны были иметь тогда алгебраические выражения.

Вот пример из книги старинного математика Бомбелли (1572):

R.c. |_ R.q. 4352p. 6 _| m.R.c. |_R.q.4352m. 16_|.

Мы написали бы то же самое иными знаками:

.

Кроме обозначения теперь употребляется для того же действия еще и другое, , весьма удобное в смысле обобщения: оно наглядно подчеркивает, что каждый корень есть не что иное, как степень, показатель которой – дробное число. Оно предложено было замечательным голландским математиком XVI в. Стевином.

<Paaaa

Что больше?

ЗАДАЧА 1

Что больше или ?

Эту и следующие задачи требуется решить, не вычисляя значения корней.

РЕШЕНИЕ

Возвысив оба выражения в 10-ю степень, получаем:

;

так как 32 > 25, то

.

ЗАДАЧА 2

Что больше: или ?

РЕШЕНИЕ

Возвысив оба выражения в 28-ю степень, получаем:

Так как 128 > 49, то и

>.

ЗАДАЧА 3

Что больше: или ?

РЕШЕНИЕ

Возвысив оба выражения в квадрат, получаем:

Уменьшим оба выражения на 17; у нас останется

Возвышаем эти выражения в квадрат. Имеем:

280 и 253 +  .

Отняв по 253, сравниваем

27 и .

Так как больше 2, то > 40; следовательно,

>

<Paaaa

Решить одним взглядом

ЗАДАЧА

Взгляните внимательнее на уравнение

и скажите, чему равен х.

РЕШЕНИЕ

Каждый, хорошо освоившийся с алгебраическими символами, сообразит, что

.

В самом деле, тогда

,

и следовательно,

,

что и требовалось.

Для кого это "решение одним взглядом" является непосильным, тот может облегчить себе поиски неизвестного следующим образом.

Пусть

x³ = y.

Тогда

,

и уравнение получает вид

,

или, возводя в куб:

.

Ясно, что у = 3 и, следовательно.

.

<Paaaa

Алгебраические комедии

ЗАДАЧА 1

Шестое математическое действие дает возможность разыгрывать настоящие алгебраические комедии и фарсы на такие сюжеты, как 2 · 2 = 5, 2 = 3 и т. п. Юмор подобных математических представлений кроется в том, что ошибка – довольно элементарная – несколько замаскирована и не сразу бросается в глаза. Исполним две пьесы этого комического репертуара из области алгебры.

Первая:

2 = 3.

На сцене сперва появляется неоспоримое равенство

4 – 10 = 9 – 15.

В следующем "явлении" к обеим частям равенства прибавляется по равной величине :

.

Дальнейший ход комедии состоит в преобразованиях:

,

.

Извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, получают:

.

Прибавляя по к обеим частям, приходят к нелепому равенству

2 = 3.

В чем же кроется ошибка?

РЕШЕНИЕ

Ошибка проскользнула в следующем заключении:

из того, что

.

был сделан вывод, что

.

Но из того, что квадраты равны, вовсе не следует, что равны первые степени. Ведь (–5)² = 5², но –5 не равно 5. Квадраты могут быть равны и тогда, когда первые степени разнятся знаками. В нашем примере мы имеем именно такой случай:

.

но не равно .

ЗАДАЧА 2

Рис. 15.

Другой алгебраический фарс (рис. 15)

2 · 2 = 5

разыгрывается по образцу предыдущего и основан на том же трюке. На сцене появляется не внушающее сомнения равенство

16 – 36 = 25 – 45.

Прибавляются равные числа:

16 – 36 + 20 = 25 – 45 + 20

и делаются следующие преобразования:

,

,

Затем с помощью того же незаконного заключения переходят к финалу:

,

4 = 5,

2 · 2 = 5.

Эти комические случаи должны предостеречь малоопытного математика от неосмотрительных операций с уравнениями, содержащими неизвестное под знаком корня.

<Paaaa

Глава шестая. УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

<Paaaa

Рукопожатия

ЗАДАЧА

Участники заседания обменялись рукопожатиями, и кто-то подсчитал, что всех рукопожатий было 66. Сколько человек явилось на заседание?

РЕШЕНИЕ

Задача решается весьма просто алгебраически. Каждый из х участников пожал х – 1 руку. Значит, всех рукопожатий должно было быть х(х – 1); но надо принять во внимание, что когда Иванов пожимает руку Петрова, то и Петров пожимает руку Иванова; эти два рукопожатия следует считать за одно. Поэтому число пересчитанных рукопожатий вдвое меньше, нежели х(х – 1), Имеем уравнение

или, после преобразований,

х² – х – 132 = 0.

откуда

Так как отрицательное решение (–11 человек) в данном случае лишено реального смысла, мы его отбрасываем и сохраняем только первый корень: в заседании участвовало 12 человек.

<Paaaa