"Трудная задача"

Картина Богданова-Бельского "Трудная задача" известна многим, но мало кто из видевших эту картину

вникал в содержание той "трудной задачи", которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления:

.

Задача в самом деле нелегкая. С нею, однако, хорошо справлялись ученики того учителя, который с сохранением портретного сходства изображен на картине, именно С. А. Рачинского, профессора естественных наук, покинувшего университетскую кафедру, чтобы сделаться рядовым учителем сельской школы. Талантливый педагог культивировал в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств чисел. Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают любопытной особенностью: .

Так как 100 + 121 + 144 = 365, то легко рассчитать в уме, что воспроизведенное на картине выражение равно 2.

Рис. 18.

Алгебра дает нам средство поставить вопрос об этой интересной особенности ряда чисел более широко: единственный ли это ряд из пяти последовательных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних?

РЕШЕНИЕ

Обозначив первое из искомых чисел через х, имеем уравнение

x² + (х + 1)² + (x + 2)² = (х + 3)² + (x + 4)².

Удобнее, однако, обозначить через x не первое, а второе из искомых чисел. Тогда уравнение будет иметь более простой вид

(х – 1)² + x² + (x + 1)² = (х + 2)² + (x + 3)².

Раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем:

x² – 10x – 11 = 0.

откуда

.

Существуют, следовательно, два ряда чисел, обладающих требуемым свойством: ряд Рачинского

10, 11, 12, 13, 14

и ряд

–2, –1, 0, 1, 2.

В самом деле,

(–2)² + (–1)² + 0² = 1² + 2².

<Paaaa