Неопределенное уравнение третьей степени

Сумма кубов трех целых чисел может быть кубом четвертого числа. Например, 3³ + 4³ + 5³ = 6³.

Это означает, между прочим, что куб, ребро которого равно 6 см, равновелик сумме трех кубов, ребра которых равны 3 см, 4 см и 5 см (рис. 14), – соотношение, по преданию, весьма занимавшее Платона.

Рис. 14.

Попытаемся найти другие соотношения такого же рода, т. е. поставим перед собой такую задачу: найти решения уравнения x³ + y³ + z³ = u³. Удобнее, однако, обозначить неизвестное и через – t. Тогда уравнение будет иметь более простой вид

x³ + y³ + z³ + t³ = 0

Рассмотрим прием, позволяющий найти бесчисленное множество решений этого уравнения в целых (положительных и отрицательных) числах. Пусть а, b, с, d и – две четверки чисел, удовлетворяющих уравнению. Прибавим к числам первой четверки числа второй четверки, умноженные на некоторое число k, и постараемся подобрать число k так, чтобы полученные числа

также удовлетворяли нашему уравнению. Иначе говоря, подберем k таким образом, чтобы было выполнено равенство

.

Раскрыв скобки и вспоминая, что четверки а, b, с, d и удовлетворяют нашему уравнению, т. е. имеют место равенства

a³ + b³ + c³ + d³ = 0, ,

мы получим:

или

.

Произведение может обращаться в нуль только в том случае, когда обращается в нуль хотя бы один из его множителей. Приравнивая каждый из множителей нулю, мы получаем два значения для k. Первое значение, k = 0, нас не интересует: оно означает, что если к числам а, b, с, d ничего не прибавлять, то полученные числа удовлетворяют нашему уравнению. Поэтому мы возьмем лишь второе значение для k:

.

Итак, зная две четверки чисел, удовлетворяющих исходному уравнению, можно найти новую четверку: для этого нужно к числам первой четверки прибавить числа второй четверки, умноженные на k, где k имеет написанное выше значение.

Для того чтобы применить этот прием, надо знать две четверки чисел, удовлетворяющих исходному уравнению. Одну такую четверку (3, 4, 5, –6) мы уже знаем. Где взять еще одну четверку? Выход из положения найти очень просто: в качестве второй четверки можно взять числа r, –r, s, –s, которые, очевидно, удовлетворяют исходному уравнению. Иначе говоря, положим:

Тогда для k мы получим, как легко видеть, следующее значение:

,

а числа будут соответственно равны

Согласно сказанному выше эти четыре выражения удовлетворяют исходному уравнению

x³ + y³ + z³ + t³ = 0

Так как все эти выражения имеют одинаковый знаменатель, то его можно отбросить (т. е. числители этих дробей также удовлетворяют рассматриваемому уравнению). Итак, написанному уравнению удовлетворяют (при любых r и s) следующие числа:

в чем, конечно, можно убедиться и непосредственно, возведя эти выражения в куб и сложив. Придавая r и s различные целые значения, мы можем получить целый ряд целочисленных решений нашего уравнения. Если при этом получающиеся числа будут иметь общий множитель, то на него можно эти числа разделить. Например, при r = 1, s = 1 получаем для х, у, z, t следующие значения: 36, 6, 48, –54, или, после сокращения на 6, значения 6, 1, 8, –9. Таким образом.

6³ + 1³ + 8³ = 9³

Вот еще ряд равенств того же типа (получающихся после сокращения на общий множитель):

при r = 1, s = 2 38³ + 73³ = 17³ + 76³ ,

при r = 1, s = 3 17³ + 55³ = 24³ + 54³ ,

при r = 1, s = 5 4³ + 110³ = 67³ + 101³ ,

при r = 1, s = 4 8³ + 53³ = 29³ + 50³ ,

при r = 1, s = –1 7³ + 14³ + 17³ = 20³ ,

при r = 1, s = –2 2³ + 16³ = 9³ + 15³ ,

при r = 2, s = –1 29³ + 34³ + 44³ = 53³ ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Заметим, что если в исходной четверке, 3, 4, 5, –6 или в одной из вновь полученных четверок поменять числа местами и применить тот же прием, то получим новую серию решений. Например, взяв четверку 3, 5, 4, –6 (т. е. положив a = 3, b = 5, с = 4, d = –6), мы получим для х, у, z, t значения:

Отсюда при различных r и s получаем ряд новых соотношений:

при r = 1, s = 1 9³ + 10³ = 1³ + 12³ ,

при r = 1, s = 3 23³ + 94³ = 63³ + 84³ ,

при r = 1, s = 5 5³ + 163³ + 164³ = 206³ ,

при r = 1, s = 6 7³ + 54³ + 57³ = 70³ ,

при r = 2, s = 1 23³ + 97³ + 86³ = 116³ ,

при r = 1, s = –3 3³ + 36³ + 37³ = 46³ ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Таким путем можно получить бесчисленное множество решений рассматриваемого уравнения.

<Paaaa