3) Комплексная плоскость. Модуль и аргумент. Сопряженное к комплексному числу. Тригонометрическая форма комплексного числа. Геометрическая модель

Геометрическое представление комплексного числа

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу   сопоставим точку плоскости с координатами {x,y} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Модуль и аргумент

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа z обозначается | z | и определяется выражением  . Часто обозначается буквами   или  . Если zявляется вещественным числом, то | z | совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых   имеют место следующие свойства модуля. :

1)  , причём   тогда и только тогда, когда  ;;

2)   (неравенство треугольника);

3)  ;

4)  .

Из третьего свойства следует  , где  . Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем  .

5) Для пары комплексных чисел z₁ и z₂ модуль их разности | z₁ − z₂ | равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол   (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу z, называется аргументом числа z и обозначается  .

Из этого определения следует, что  ;  ;  .

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2kπ, где k — любое целое число.

Главным значением аргумента называется такое значение  , что  . Часто главное значение обозначается  ^[4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от

аргумента исходного: