11) Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка.

Опр:Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее произ­водных и, следовательно, имеющее вид(1)

где а0(х),а1(х)_,…аn(х)-коэф.уравнения

Опр:Если правая часть f(х)≡0, то уравнение(1) называется линейным однородным, так как оно однородно относительно неизвестной функции у и ее производных.

Если, то разделив обе части (1)на эту функцию:

Опр:Ур.(3) наз линейным n-порядка в нормальной форме(коэф. при старшей произв.=0)

Если все коэф.(3) фун.(i=0…n) и f(x) непрерывны на ,то ур (3) в любой окрестности начальных значенийгдеудовлетворяет условия м теоремы существования единственности решений.

Условия выполнения:

1) явл .непр. относительно всех аргументов т.к.она линейная комбинация непрерывных функций.

2)Т.К. коэф.pi непрерывны на, то по теореме Вейерштрасса, они на этом же отрезке ограничены.

Основные св-ва частных решений лин. однор.ур.

Речь пойдет об ур (2).

1)Если фун. у(х) явл. решением лин. однор. ур(2), то новая функция Су(х) явл. решением этого же уравнения.

Док-во.

Подставим Су(х) в левую часть (2).2)Если у1(х),у2(х) явл. решением одного и того же лин. однор. ур(2), то их сумма у1(х)+у2(х), то же решение его же.

Док-в0.

Подставим новую фун. в левую часть ур(2).

3)Если фун. m: у1(х),у2(х)…yn(x) явл. решением одного и того же лин. однор. ур. (2), то их линейная комбинация также явл. решением (2)

Док-во.

Очевидно.

4)Если (2)с действ. коэффициентами ai(i=0…n)имеет комплексно значное решение y(x)=u(x)+iv(x), то u(x),v(x) –вещ-ые по отдельности явл. решениями того же ур-я.

Док-во.

Подставим у в Ур-е. Воспользуемся свойством линейности производной любого порядка.

[]-вещ.функция.