Понятие устойчивости. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Т2: (Ляпунова об асимптотической устойчивости)

Если существует диф. функция ,которая называется функцией Ляпунова в некоторой окрестности нач. координат удовлетворяет:

1)

2) 3)в некоторой сколь угодно малой окрестности.

-положит. const.,то явл. асимптотически устойчивым.

, то любая траектория (1) нач. точка которой находится в окрестности начала координат прине покинет предела E окрестности начала координат. То -функция Ляпунова вдоль любой нашей траектории будет функцией параметраt монотонно убывающей.

Известно, что любая монотонно убывающая функция ограниченная сверху имеет редел альфа.

т.к. ф. Ляпунова монотонно убывает.

Пусть , то траектория будет находиться вне достаточно малой окрестности начала координат. То траектория будет находиться вне малой окрестности начала координат. Но согласно этой окрестности начала координат/*dt

Интегрируем

При достаточно больших t правая часть будет отрицательной.То левая будет отриц..Это противоречит усл. (1).То.

Т.К. Ф. Ляпунова диф., то она непрерывна, то она достигает предельного значения в предельной точке. Точка в которой ф.Ляпунова=0-это начало координат.

-тривиальное решение, явл. асимптотически устойчивым.

ч.т.д.

№38