7.1.3.1. Показательная функция

Определение 5. Показательная функция определяется формулой

. (7.1.1)

Положив в этом равенстве y=0, устанавливаем, что для действительных значений z=x показательная функция совпадает с показательной функцией действительного переменного: .

Это определение имеет смысл для всех z и при этом сохраняется основное свойство экспоненты:

. (7.1.2)

Учитывая, что , а , утверждаем, что показательная функция нигде в нуль не обращается, т.е. .

Положив в равенстве (7.1.1) , , получим классическую формулу Эйлера .

Показательная функция комплексного переменного обладает специфическим свойством: она является периодической с мнимым основным периодом . Отметим, что не всегда больше нуля. Например, .