3.3 Условие для определения вида собственных значений характеристического уравнения третьего порядка.

Условие:

Ф(a,b,c)=(9c-ab)²-(6b-2a²)(6ac-2b²)

Ф(a,b,c)<0 – все собст.знач.-я ХП вещественные

Ф(a,b,c)=0 – два(три) кратных веществ. корня

Ф(a,b,c)>0 – два комплексно сопряженных корня

4. Корни характеристическго уравнения с параметрами: 0,38; 0,30; 4,82 (неустойчивый фокус-седло).

Интегральные кривые нужно строить относительно каждой особой точки.

Рассматриваются все «условия» + условие (с-ав)>0и (с-ав)<0 рассматирваием для Ро1=(0,0,0)

Если рассмотреть уравнения с параметрами 0,38…, то получается интересная траектория, траектория отталкивается от Ро1(0,0,0) вдоль R²(х1,х2) в фазовом пространствеR³, а притягиваются вдоль одномерной кривой, образуя неподвижную точку типа седло-фокус. Изображающая точка покидает область неустойчивой точки равновесия типа Ро1 в плоскости переменных (х1,х3), а затем возвращается к этой точке снова.

4. Гомоклиническая траектория в фазовом пространстве системы.

Фазовый портрет дает возможность изобразить качественную характеристику всей совокупности свободных движений (процессов) для выбранной области НУ пространства корней.

если траектория выходит из начала координат, то, совершив полный оборот вокруг одной из устойчивых точек, она вернется обратно в начальную точку — возникают две гомоклинические петли (Понятие гомоклинической траектории означает, что она выходит и приходит в одно и то же положение равновесия).

Гомоклиническая траектория– не возникает, если параметры не удовлетворяют некоторому строгому ограничению.

4. Структурная неустойчивость гомоклинической траектории.

При больших значениях параметра траектория претерпевает серезные изменения. Шильников и Каплан показали, что при очень больших r система переходит в режим автоколебаний, при этом, если уменьшать параметр, будет наблюдаться переход к хаосу через последовательность удвоений периода колебаний.

Гомоклинические траектории- структурно неустойчивы.

4. Странный аттрактор

Странный аттрактор: неустойчивое положение равновесия – основная особенность хаотичного поведения. Траектории очень чувствительны к изменению начал.условий – это качество присуще странным аттракторам.

Странный аттрактор — это аттрактор, имеющий два существенных отличия от обычного аттрактора: траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима нарастают). Основным критерием хаотичности аттрактора является экспоненциальное нарастание во времени малых возмущений. Следствием этого является "перемешивание" в системе, непериодичность во времени любой из координат системы, сплошной спектр мощности и убывающая во времени автокорреляционная функция.

Динамика на странных аттракторах часто бывает хаотической: прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией. Непредсказуемость траектории в детерминированных динамических системах называют динамическим хаосом, отличая его от стохастического хаоса, возникающего в стохастических динамических системах. Это явление также называют эффектом бабочки, подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время.

4. Возможно одновременно стохастическое и регулярное поведение? Или всегда либо регулярное, либо стохастическое?

И регулярные и хаотиечское поведение динамический диссипативных систем с многими переменными (n>2) возможны, причем не только по отдельности (либо-либо), но и одновременно.

Нельзя говорить, что система уходит в хаос сраху после первой бифуркации (так как в одном месте ушло,в другом пришло)

4. Почему третий порядок? Возможно ли возникновение странных аттракторов в системах второго порядка? А в системах выше третьего порядка?

Более точные математические условия возникновения хаоса выглядят так:

Система должна иметь нелинейные характеристики, быть глобально устойчивой, но иметь хотя бы одну неустойчивую точку равновесия колебательного типа, при этом размерность системы должна быть не менее 1,5 (т.е. порядок дифференциального уравнения не менее 3-го).

Линейные системы никогда не бывают хаотическими. Для того, чтобы динамическая система была хаотической, она должна быть нелинейной. По теореме Пуанкаре-Бендиксона (Poincaré-Bendixson), непрерывная динамическая система на плоскости не может быть хаотической. Среди непрерывных систем хаотическое поведение имеют только неплоские пространственные системы (обязательно наличие не менее трёх измерений или неевклидова геометрия). Однако дискретная динамическая система на какой-то стадии может проявить хаотическое поведение даже в одномерном или двумерном пространстве.

Лекция 3. Интегрируемые и неинтегрируемые системы. Консервативные системы

1. Интегрируемые системы

   1. Сводимость к свободному (невозмущенному) движению систем. Что будет при несводимости?

Для интегрируемых систем можно исключитьвзаимодействия и свести задачу к задаче о свободном движении. Для свободного движения не составляет труда найти выражения для координат и скоростей в виде явных функций времени. Для неинтегрируемых систем необходимо отказаться от описания в терминах траекторий и перейти к вероятностному описанию(при несводимости).

2. Можно ли описать неинтегрируемую систему в терминах траекторий?

нет, невозможно. Речь идет о принципиально вероятностном описании, несводимом к описанию в терминах отдельных траекторий.

3. Может ли система, заданная детерминированным уравнением иметь стохастическую динамику?

Д. с. противопоставляется вероятностной системе, выходы которой лишь случайным образом, а не однозначно зависят отвходов.(в д.с. однозначно зависит от входов).Но любая система, даже если она детерминированная, будет содержать немного случайностей.