Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение называется однородным, если - является однородной функцией нулевой степени. Функция- называется однородной функциейтой степени, если выполняется тождество.

Например, однородная функция с показателем однородности, так как.

Если функция является однородной нулевой степени, то она удовлетворяет тождествуи ее всегда можно представить, как функцию отношения. Действительно, положив в тождестве, получим. Левая часть полученного равенства зависит только от. Уравнение (5.1.2) принимает вид:.

С помощью замены переменной это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными: . Подставив эти выражения в уравнение, найдем.

Разделяя переменные и интегрируя, получим общий интеграл уравнения

.

При разделении переменных мы делим на , предполагая, что это выражение отлично от нуля. Если же существует такое значение, при котором, то мы имеем еще решениеили.

Пример. . Это однородное дифференциальное уравнение, т.к.- однородная функция нулевой степени. Для его решения вводим новую функцию. В новых переменных уравнение имеет вид:

.

После интегрирования найдем: или. Подставляя значение, получим общий интеграл уравнения. Кроме того, решением является.

Уравнения вида: приводятся к однородному дифференциальному уравнению с помощью замены переменной. Следует заметить, что если быибыли равны нулю, то уравнение было бы однородным (в этом можно было бы убедиться, разделив числитель и знаменатель на). Уравненияиопределяют две прямые. Для уничтожения в уравнениях прямых свободных членов, надо перенести начало координат в точку пересечения этих прямых. Решая систему уравнений:найдем точку пересечения прямых

.

Замена переменных приводит к уравнению

. Это однородное дифференциальное уравнение.

Изложенный метод нельзя применять, если прямые параллельны. Но в этом случае коэффициенты при текущих координатах пропорциональны и дифференциальное уравнение может быть записано в виде:

.

Следовательно, замена переменных преобразует уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

Пример. . Решая систему уравнений,найдем.

Полагая ,, будем иметьили.

Замена переменных z=/ или =z приводит к уравнению с разделяющимися переменными. .

Разделяем переменные: . Интегрируем.

Подставляя , получим. Возвращаясь к старым переменным, найдем общий интеграл дифференциального уравнения

.